Latihan Soal Himpunan Kelas 7 Paket 3

C. \( 9 \).

Penjelasan:
Misalkan \( x \) adalah banyak siswa yang gemar keduanya. Maka, kita dapat menggunakan rumus himpunan untuk menghitung total siswa: \[ n(S) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) + n(A \cup B)^c \] Di mana:
\( n(S) \) = total siswa = \( 25 \)
\( n(A) \) = siswa yang gemar berenang = \( 14 \)
\( n(B) \) = siswa yang gemar sepakbola = \( 15 \)
\( n(A \cap B) \) = siswa yang gemar keduanya = \( x \)
\(n(A \cup B)^c = n(\text{tidak gemar keduanya}) \) = siswa yang tidak gemar keduanya = \( 5 \)

Substitusi nilai-nilai tersebut ke dalam rumus: \[ 25 = 14 + 15 - x + 5 \] \[ 25 = 34 - x \] \[ x = 34 - 25 \] \[ x = 9 \]
Jadi, banyak siswa yang gemar keduanya adalah \( 9 \) orang.

D. \( \{1,2,4,6,8,9,10,11\} \).

Penjelasan:
Himpunan \( S \) berisi bilangan asli kurang dari 12, yaitu \( S = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11\} \).
Himpunan \( A \) berisi bilangan ganjil kurang dari 11, yaitu \( A = \{1,3,5,7,9\} \).
Himpunan \( B \) berisi bilangan prima kurang dari 12, yaitu \( B = \{2,3,5,7,11\} \).
Pertama, kita cari irisan \( A \cap B = \{3,5,7\} \).
Kemudian, kita cari komplemen dari irisan tersebut dalam himpunan \( S \): \[ (A \cap B)^C \] \[= S - (A \cap B) \] \[= \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11\} - \{3,5,7\}\] \[= \{1,2,4,6,8,9,10,11\} \]. Jadi, \( (A \cap B)^c = \{1,2,4,6,8,9,10,11\} \).

A. \( 7 \).

Penjelasan:
Himpunan \( H \) berisi bilangan genap antara \( 1 \) dan \( 16 \), yaitu \( H = \{2,4,6,8,10,12,14\} \).
Banyaknya himpunan bagian dari himpunan dengan \( n \) anggota yang terdiri dari \( r \) anggota dapat dihitung dengan rumus kombinasi: \[ C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!} \] Di mana \( n \) adalah jumlah total anggota himpunan, dan \( r \) adalah jumlah anggota yang dipilih untuk himpunan bagian.
Dalam kasus ini, \( n = 7 \) (karena ada \( 7 \) bilangan genap dalam himpunan \( H \)) dan \( r = 6 \).
Maka, kita dapat menghitung \( C(7, 6) \): \[ C(7, 6) = \frac{7!}{6!(7-6)!} = \frac{7!}{6! \cdot 1!} = \frac{7 \cdot 6!}{6! \cdot 1} = 7 \]
Jadi, banyak himpunan bagian dari \( H \) yang terdiri dari \( 6 \) anggota adalah \( 7 \).

D. \(17\).

Penjelasan:
Misalkan \( x \) adalah banyak siswa yang gemar kesenian. Maka, banyak siswa yang gemar olahraga adalah \( 2x \).
Jumlah siswa yang gemar olahraga atau kesenian dapat dihitung dengan rumus: \[ n(O \cup K) = n(O) + n(K) - n(O \cap K) \] Di mana:
\( n(O) \) = siswa yang gemar olahraga = \( 2x \)
\( n(K) \) = siswa yang gemar kesenian = \( x \)
\( n(O \cap K) \) = siswa yang gemar keduanya = \( 5 \)
\( n(O \cup K) \) = siswa yang gemar olahraga atau kesenian = \( 36 - 8 = 28 \) (karena \( 8 \) siswa tidak gemar keduanya)
Substitusi nilai-nilai tersebut ke dalam rumus: \[ 28 = 2x + x - 5 \] \[ 28 = 3x - 5 \] \[ 3x = 33 \] \[ x = 11 \] Jadi, banyak siswa yang gemar kesenian adalah \( 11 \) orang, dan banyak siswa yang gemar olahraga adalah \( 2 \times 11 = 22 \) orang.
Banyak siswa yang hanya gemar olahraga adalah \( n(O) - n(O \cap K) = 22 - 5 = 17 \) orang.

B. \( \{1,9,11,13\} \).

Penjelasan:
Himpunan \( S \) berisi bilangan asli kurang dari 14, yaitu \( S = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13\} \).
Himpunan \( D \) berisi bilangan genap antara 3 dan 14, yaitu \( D = \{4,6,8,10,12,14\} \).
Himpunan \( B \) berisi bilangan prima kurang dari 8, yaitu \( B = \{2,3,5,7\} \).
Pertama, kita cari gabungan \( D \cup B = \{2,3,4,5,6,7,8,10,12,14\} \).
Kemudian, kita cari komplemen dari gabungan tersebut dalam himpunan \( S \): \[ (D \cup B)^C = S - (D \cup B) \] \[= \{1,9,11,13\} \]. Jadi, \( (D \cup B)^c = \{1,9,11,13\} \).

B. \( \{1,3,4,5,6,7,8,9,10\} \).

Penjelasan:
Himpunan \( S \) berisi bilangan asli kurang dari 11, yaitu \( S = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} \).
Himpunan \( A \) berisi bilangan prima kurang dari 11, yaitu \( A = \{2,3,5,7\} \).
Himpunan \( B \) berisi bilangan genap kurang dari 11, yaitu \( B = \{2,4,6,8,10\} \).
Pertama, kita cari irisan \( A \cap B = \{2\} \).
Kemudian, kita cari komplemen dari irisan tersebut dalam himpunan \( S \): \[ (A \cap B)^C \] \[= S - (A \cap B) \] \[= \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} - \{2\}\] \[= \{1,3,4,5,6,7,8,9,10\} \]. Jadi, \( (A \cap B)^c = \{1,3,4,5,6,7,8,9,10\} \).

B. \(6\).

Penjelasan:
Himpunan \( Q \) berisi bilangan genap kurang dari \( 13 \), yaitu \( Q = \{2,4,6,8,10,12\} \).
Banyaknya himpunan bagian dari himpunan dengan \( n \) anggota yang terdiri dari \( r \) anggota dapat dihitung dengan rumus kombinasi: \[ C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!} \] Di mana \( n \) adalah jumlah total anggota himpunan, dan \( r \) adalah jumlah anggota yang dipilih untuk himpunan bagian.
Dalam kasus ini, \( n = 6 \) (karena ada \( 6 \) bilangan genap dalam himpunan \( Q \)) dan \( r = 5 \).
Maka, kita dapat menghitung \( C(6, 5) \): \[ C(6, 5) = \frac{6!}{5!(6-5)!} = \frac{6!}{5! \cdot 1!} = \frac{6 \cdot 5!}{5! \cdot 1} = 6 \] Jadi, banyak himpunan bagian dari \( Q \) yang terdiri dari \( 5 \) anggota adalah \( 6 \).

D. \(17\) Orang.

Penjelasan:
Misalkan \( x \) adalah banyak siswa yang gemar kesenian. Maka, banyak siswa yang gemar olahraga adalah \( 2x \).
Jumlah siswa yang gemar olahraga atau kesenian dapat dihitung dengan rumus: \[ n(O \cup K) = n(O) + n(K) - n(O \cap K) \] Di mana:
\( n(O) \) = siswa yang gemar olahraga = \( 2x \)
\( n(K) \) = siswa yang gemar kesenian = \( x \)
\( n(O \cap K) \) = siswa yang gemar keduanya = \( 5 \)
\( n(O \cup K) \) = siswa yang gemar olahraga atau kesenian = \( 34 - 6 = 28 \) (karena \( 6 \) siswa tidak gemar keduanya)
Substitusi nilai-nilai tersebut ke dalam rumus: \[ 28 = 2x + x - 5 \] \[ 28 = 3x - 5 \] \[ 3x = 33 \] \[ x = 11 \] Jadi, banyak siswa yang gemar kesenian adalah \( 11 \) orang, dan banyak siswa yang gemar olahraga adalah \( 2 \times 11 = 22 \) orang.
Banyak siswa yang hanya gemar olahraga adalah \( n(O) - n(O \cap K) = 22 - 5 = 17 \) orang.

D. \(10\) Siswa.

Penjelasan:
Misalkan \( x \) adalah banyak siswa yang membawa kedua benda tersebut. Maka, kita dapat menggunakan rumus himpunan untuk menghitung total siswa: \[ n(S) = n(P) + n(L) - n(P \cap L) + n(P \cup L)^c \] Di mana:
\( n(S) \) = total siswa = \( 30 \)
\( n(P) \) = siswa yang membawa peci = \( 22 \)
\( n(L) \) = siswa yang membawa lencana burung garuda = \( 14 \)
\( n(P \cap L) \) = siswa yang membawa kedua benda tersebut = \( x \)
\(n(P \cup L)^c= n(\text{tidak membawa keduanya}) \) = siswa yang tidak membawa keduanya = \( 4 \)

Substitusi nilai-nilai tersebut ke dalam rumus: \[ 30 = 22 + 14 - x + 4 \] \[ 30 = 40 - x \] \[ x = 40 - 30 \] \[ x = 10 \] Jadi, banyak siswa yang membawa kedua benda tersebut adalah \( 10 \) siswa.

C. \(81\).

Penjelasan:
Misalkan \( n(A) \) adalah jumlah elemen dalam himpunan \( A \) dan \( n(B) \) adalah jumlah elemen dalam himpunan \( B \).
Dalam hal ini, \( n(A) = 4 \) (karena ada \( 4 \) elemen dalam himpunan \( A \)) dan \( n(B) = 3 \) (karena ada \( 3 \) elemen dalam himpunan \( B \)).
Banyaknya pemetaan yang mungkin dari himpunan \( A \) ke himpunan \( B \) dapat dihitung dengan rumus: \[ \text{Banyaknya Pemetaan} = n(B)^{n(A)} \] Substitusi nilai-nilai tersebut ke dalam rumus: \[ \text{Banyaknya Pemetaan} = 3^4 = 81 \] Jadi, banyaknya pemetaan yang mungkin dari himpunan \( A \) ke himpunan \( B \) adalah \( 81 \).