Latihan Soal Persamaan & pertidaksamaan Linear Satu Variabel Paket 1

A. \( x \geq 6 \).

Penjelasan:
Diketahui:
Alas segitiga \( a = 10 \text{ cm} \)
Tinggi segitiga \( t = (x - 4) \text{ cm} \)
Luas segitiga \( L \geq (2x - 2) \text{ cm}^2 \)

Rumus luas segitiga adalah: \[ L = \frac{1}{2} \times a \times t \] Substitusi nilai alas dan tinggi ke dalam rumus luas: \[ L = \frac{1}{2} \times 10 \times (x - 4) \] \[ L = 5(x - 4) \] Menyusun pertidaksamaan berdasarkan informasi luas: \[ 5(x - 4) \geq (2x - 2) \] \[ 5x - 20 \geq 2x - 2 \] \[ 5x - 2x \geq -2 + 20 \] \[ 3x \geq 18 \] \[ x \geq 6 \] Jadi, nilai \( x \) yang memenuhi adalah \( x \geq 6 \).

B. \( 10 \).

Penjelasan:
Himpunan \( K \) berisi bilangan ganjil antara \( 1 \) dan \( 11 \). Jadi, himpunan \( K \) dapat dituliskan sebagai: \[ K = \{3, 5, 7, 9, 11\} \]
Banyaknya anggota himpunan \( K \) adalah \( n(K) = 5 \).
Kita ingin mencari banyak himpunan bagian dari \( K \) yang mempunyai \( 3 \) anggota. Ini adalah masalah kombinasi, di mana kita memilih \( r \) anggota dari \( n \) anggota tanpa memperhatikan urutan. Rumus kombinasi adalah: \[ C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!} \] Di mana:
\( n \) = total anggota himpunan = \( 5 \)
\( r \) = anggota yang dipilih = \( 3 \)
Substitusi nilai-nilai tersebut ke dalam rumus: \[ C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \] Jadi, banyak himpunan bagian dari \( K \) yang mempunyai \( 3 \) anggota adalah \( 10 \).

B. \( 3 \).

Penjelasan:
Misalkan \( x \) adalah banyak orang yang berlangganan ketiga majalah tersebut. Kita dapat menggunakan rumus himpunan untuk menghitung total orang: \[ n(S) = n(N) + n(T) + n(F) \\ - n(N \cap T) - n(N \cap F) - n(T \cap F) \\ + n(N \cap T \cap F) + n(\text{tidak berlangganan apapun}) \] Di mana:
\( n(S) \) = total orang = \( 60 \)
\( n(N) \) = orang yang berlangganan Newsweek = \( 25 \)
\( n(T) \) = orang yang berlangganan Time = \( 26 \)
\( n(F) \) = orang yang berlangganan Fortune = \( 26 \)
\( n(N \cap T) \) = orang yang berlangganan Newsweek dan Time = \( 11 \)
\( n(N \cap F) \) = orang yang berlangganan Newsweek dan Fortune = \( 9 \)
\( n(T \cap F) \) = orang yang berlangganan Time dan Fortune = \( 8 \)
\( n(N \cap T \cap F) \) = orang yang berlangganan ketiga majalah = \( x \)
\( n(\text{tidak berlangganan apapun}) \) = orang yang tidak berlangganan apapun = \( 8 \)
Substitusi nilai-nilai tersebut ke dalam rumus: \[ 60 = 25 + 26 + 26 - 11 - 9 - 8 + x + 8 \] \[ 60 = 57 + x \] \[ x = 60 - 57 \] \[ x = 3 \] Jadi, banyak orang yang berlangganan ketiga majalah Newsweek, Time, dan Fortune adalah \( 3 \).

B. \(15\).

Penjelasan:
Misalkan \( x \) adalah banyak siswa yang gemar kedua pelajaran tersebut. Kita dapat menggunakan rumus himpunan untuk menghitung total siswa: \[ n(S) = n(M) + n(F) - n(M \cap F) + n(M \cup F)^c \] Di mana:
\( n(S) \) = total siswa = \( 44 \)
\( n(M) \) = siswa yang gemar matematika = \( 30 \)
\( n(F) \) = siswa yang gemar fisika = \( 26 \)
\( n(M \cap F) \) = siswa yang gemar kedua pelajaran = \( x \)
\(n(M \cup F)^c = n(\text{tidak gemar kedua pelajaran}) \) = siswa yang tidak gemar kedua pelajaran = \( 3 \)
Substitusi nilai-nilai tersebut ke dalam rumus: \[ 44 = 30 + 26 - x + 3 \] \[ 44 = 59 - x \] \[ x = 59 - 44 \] \[ x = 15 \] Jadi, banyak siswa yang gemar dengan kedua pelajaran tersebut adalah \( 15 \) siswa.

B. Siswa-siswi SMA Yayasan Soposurung yang berkaca mata.

Penjelasan:
Himpunan adalah kumpulan objek atau elemen yang memiliki karakteristik atau sifat tertentu yang dapat didefinisikan dengan jelas. Dalam pilihan jawaban yang diberikan:
A. "Siswa-siswi SMA Yayasan Soposurung yang berparas cantik" adalah subjektif karena penilaian kecantikan dapat bervariasi antara individu. Oleh karena itu, ini bukan himpunan yang jelas.
B. "Siswa-siswi SMA Yayasan Soposurung yang berkaca mata" adalah himpunan yang jelas karena dapat diidentifikasi secara objektif siapa saja yang memakai kaca mata.
C. "Siswa-siswi SMA Yayasan Soposurung yang berbadan pendek" adalah subjektif karena definisi "pendek" dapat bervariasi. Oleh karena itu, ini bukan himpunan yang jelas.
D. "Siswa-siswi SMA Yayasan Soposurung yang berbadan tinggi" juga subjektif karena definisi "tinggi" dapat bervariasi. Oleh karena itu, ini bukan himpunan yang jelas.
Jadi, jawaban yang benar adalah B karena karakteristik "berkaca mata" dapat diidentifikasi secara objektif.

B. \( 10 \).

Penjelasan:
Himpunan \( M \) berisi huruf-huruf pembentuk kata "PARYASOP NABURJU".
Pertama, kita identifikasi huruf-huruf unik dalam kata tersebut:
P, A, R, Y, S, O, N, B, U, J
Jadi, himpunan \( M \) dapat dituliskan sebagai: \[ M = \{P, A, R, Y, S, O, N, B, U, J\} \] Banyaknya anggota himpunan \( M \) adalah jumlah huruf unik yang telah kita identifikasi, yaitu \( 10 \).
Jadi, \( n(M) = 10 \).

D. Himpunan bilangan prima.

Penjelasan:
Himpunan \( A \) adalah himpunan bilangan bulat, yang mencakup semua bilangan negatif, nol, dan bilangan positif: \[ A = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\} \]
Himpunan \( B \) adalah himpunan bilangan prima, yang mencakup bilangan-bilangan positif yang hanya memiliki dua faktor, yaitu \( 1 \) dan dirinya sendiri: \[ B = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, ...\} \]
Irisan \( A \cap B \) adalah himpunan bilangan yang merupakan anggota dari kedua himpunan tersebut. Karena bilangan prima hanya terdiri dari bilangan positif, maka irisan ini hanya akan mencakup bilangan prima itu sendiri.
Oleh karena itu, \( A \cap B = B \), yaitu himpunan bilangan prima.
Jadi, jawaban yang benar adalah D. Himpunan bilangan prima.

B. \(15\) Siswa.

Penjelasan:
Misalkan \( x \) adalah banyak siswa yang menyenangi kedua olahraga tersebut. Kita dapat menggunakan rumus himpunan untuk menghitung total siswa: \[ n(S) = n(F) + n(B) - n(F \cap B) + n(F \cup B)^c \] Di mana:
\( n(S) \) = total siswa = \( 60 \)
\( n(F) \) = siswa yang senang sepak bola = \( 30 \)
\( n(B) \) = siswa yang senang bulu tangkis = \( 40 \)
\( n(F \cap B) \) = siswa yang menyenangi kedua olahraga = \( x \)
\(n(F \cup B)^c = n(\text{tidak senang kedua olahraga}) \) = siswa yang tidak senang kedua olahraga = \( 5 \)
Substitusi nilai-nilai tersebut ke dalam rumus: \[ 60 = 30 + 40 - x + 5 \] \[ 60 = 75 - x \] \[ x = 75 - 60 \] \[ x = 15 \] Jadi, banyak siswa yang menyenangi kedua olahraga tersebut adalah \( 15 \) siswa.

A. \(3\) Siswa.

Penjelasan:
Misalkan \( x \) adalah banyak siswa yang tidak suka jeruk maupun apel. Kita dapat menggunakan rumus himpunan untuk menghitung total siswa: \[ n(S) = n(J) + n(A) - n(J \cap A) + n(J \cup A)^c \] Di mana:
\( n(S) \) = total siswa = \( 20 \)
\( n(J) \) = siswa yang suka jeruk = \( 20 - 9 = 11 \)
\( n(A) \) = siswa yang suka apel = \( 20 - 7 = 13 \)
\( n(J \cap A) \) = siswa yang suka jeruk maupun apel = \( 7 \)
\(n(J \cup A)^c = n(\text{tidak suka jeruk maupun apel}) \) = siswa yang tidak suka jeruk maupun apel = \( x \)
Substitusi nilai-nilai tersebut ke dalam rumus: \[ 20 = 11 + 13 - 7 + x \] \[ 20 = 17 + x \] \[ x = 20 - 17 \] \[ x = 3 \] Jadi, banyak siswa yang tidak suka jeruk maupun apel adalah \( 3 \) siswa.

B. 8 Orang.

Penjelasan:
Diketahui total siswa = 14.
- Jumlah yang tidak suka matematika = 6 → jadi yang suka matematika = 14 − 6 = 8.
Untuk memeriksa konsistensi, gunakan prinsip inklusi-eksklusi:
- yang suka fisika = 14 − 7 = 7.
- yang tidak suka keduanya = 4 → sehingga ukuran gabungan yang suka minimal satu mata pelajaran adalah 14 − 4 = 10.
Dengan rumus:
\( n(M) + n(F) - n(M\cap F) = n(M\cup F) \).
Substitusi: \( 8 + 7 - n(M\cap F) = 10 \) → \( n(M\cap F) = 5 \).
Rincian: only Matematika = \(8-5=3\), only Fisika = \(7-5=2\), both = 5, neither = 4. Jumlahnya \(3+2+5+4=14\) — konsisten.
Jadi jawaban: 8 siswa suka matematika.