Matematika Dasar UTBK/SBMPTN Paket 1

D. \( 21\).

Penjelasan:
Diketahui \(a^b = 2^{20} - 2^{19}\) dapat disederhanakan menjadi \(2^{19}(2-1) = 2^{19}\). Maka, \(a = 2\) dan \(b = 19\). Sehingga, \(a + b = 2 + 19 = 21\).

B. \(30\).

Penjelasan:
Diketahui fungsi objektif \(f(x,y) = 4x + 3y\) dengan kendala \(2x + 3y \leq 18\), \(x \geq 3\), dan \(y \geq 2\). Pertama, kita cari titik potong dari kendala tersebut. Dari \(2x + 3y = 18\), kita dapatkan titik potong dengan sumbu \(x\) dan \(y\) yaitu \((9,0)\) dan \((0,6)\). Namun, karena ada kendala \(x \geq 3\) dan \(y \geq 2\), kita hanya mempertimbangkan titik-titik yang memenuhi semua kendala tersebut. Titik-titik yang memenuhi adalah \((3,4)\), \((6,2)\), dan \((3,2)\). Selanjutnya, kita hitung nilai \(f(x,y)\) pada titik-titik tersebut:
- Pada titik \((3,4)\): \(f(3,4) = 4(3) + 3(4) = 12 + 12 = 24\)
- Pada titik \((6,2)\): \(f(6,2) = 4(6) + 3(2) = 24 + 6 = 30\)
- Pada titik \((3,2)\): \(f(3,2) = 4(3) + 3(2) = 12 + 6 = 18\)
Dari perhitungan tersebut, nilai maksimum dari fungsi objektif adalah \(30\) pada titik \((6,2)\).

D. \(3\).

Penjelasan:
Diketahui akar-akar persamaan kuadrat \(x^2 - 4x + a\) adalah \(p+1\) dan \(p-1\). Maka, jumlah akar \((p+1) + (p-1) = 2p = \frac{-b}{a} = 4\) dan hasil kali akar \((p+1)(p-1) = p^2 - 1 = \frac{c}{a} = a\). Dari rumus jumlah dan hasil kali akar, kita dapatkan: \[2p = 4 \quad \text{dan} \quad p^2 - 1 = a\] Dari \(2p = 4\), maka \(p = 2\). Substitusi \(p\) ke dalam \(a\): \[a = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3\] Jadi, nilai \(a\) adalah \(3\).

C. \(\text{Rp}.4.800.000,00\).

Penjelasan:
Diketahui modal total \(Rp10.000.000,00\) dan keuntungan total \(Rp904.000,00\). Misalkan modal produk \(A\) adalah \(x\) dan produk \(B\) adalah \(10.000.000 - x\). Maka, keuntungan dari produk \(A\) adalah \(0,08x\) dan dari produk \(B\) adalah \(0,10(10.000.000 - x)\). Sehingga, kita punya persamaan: \[0,08x + 0,10(10.000.000 - x) = 904.000\] Sederhanakan persamaan tersebut: \[0,08x + 1.000.000 - 0,10x = 904.000\] \[-0,02x + 1.000.000 = 904.000\] \[-0,02x = 904.000 - 1.000.000\] \[-0,02x = -96.000\] \[x = \frac{-96.000}{-0,02} = 4.800.000\] Jadi, modal produk \(A\) adalah \(\text{Rp}.4.800.000,00\).

A. \(13\).

Penjelasan:
Diketahui \(f(x) = ax + 3\) dan \(f(f(x)) = 4x + 9\). Maka, kita substitusi \(f(x)\) ke dalam \(f\): \[f(f(x)) = f(ax + 3) = a(ax + 3) + 3\] \[= a^2x + 3a + 3\] Sehingga, kita punya persamaan: \[a^2x + 3a + 3 = 4x + 9\] Dari sini, kita dapatkan dua persamaan: \[a^2 = 4\] dan \[3a + 3 = 9\] Dari \(3a + 3 = 9\), kita dapatkan \(3a = 6\) sehingga \(a = 2\) Substitusi nilai \(a\) ke dalam \(a^2 + 3a + 3\): \[2^2 + 3(2) + 3 = 4 + 6 + 3 = 13\] Jadi, nilai yang dicari adalah \(13\).

D. \(1\)

Penjelasan:
Diketahui \(AB = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\) dan det\((A) = 2\). Maka, kita dapatkan: \[det(AB) = det(A) \cdot det(B)\] Sehingga, \(det(AB) = 2 \cdot det(B)\). Dari \(AB\), kita dapatkan \(det(AB) = 2^2 = 4\). Maka, kita punya persamaan: \[4 = 2 \cdot det(B)\] Sehingga \(det(B) = \frac{4}{2} = 2\). Selanjutnya, kita cari \(det(BA^{-1})\): \[det(BA^{-1}) = det(B) \cdot det(A^{-1})\] Dengan \(det(A^{-1}) = \frac{1}{det(A)} = \frac{1}{2}\). Maka, kita punya: \[det(BA^{-1}) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1\] Jadi, nilai \(det(BA^{-1})\) adalah \(1\).

C. \(x \leq -2 \) atau \(x \geq 0\).

Penjelasan:
Diketahui \((x+1)(x+2) \geq (x+2)\). Kita dapatkan: \[(x+1)(x+2) - (x+2) \geq 0\] \[(x+1-1)(x+2) \geq 0\] \[x(x+2) \geq 0\] Dari sini, kita dapatkan dua kasus: \(x = 0\) atau \(x + 2 = 0\). Maka, kita punya: \(x = 0\) atau \(x = -2\). Selanjutnya, kita analisis tanda dari \(x(x+2)\):
- Untuk \(x < -2\), \(x(x+2) > 0\) (positif)
- Untuk \(-2 < x < 0\), \(x(x+2) < 0\) (negatif)
- Untuk \(x > 0\), \(x(x+2) > 0\) (positif)
Maka, solusi dari pertidaksamaan tersebut adalah \(x \leq -2 \cup x \geq 0 \).

E. \(-40\).

Penjelasan:
Diketahui titik-titik yang dilalui grafik fungsi kuadrat \(f\) adalah \((-1,0)\), \((2,0)\), dan \((0,2)\). Maka, kita dapatkan persamaan fungsi kuadrat dalam bentuk faktorisasi: \[f(x) = a(x+1)(x-2)\] Dengan \(a\) adalah konstanta. Kita substitusi titik \((0,2)\) ke dalam persamaan: \[f(0) = a(0+1)(0-2) = 2\] \[a(-2) = 2 \] \[a = -1\] Maka, persamaan fungsi kuadratnya adalah: \[f(x) = -(x+1)(x-2)\] Selanjutnya, kita cari nilai \(f(7)\): \[f(7) = -(7+1)(7-2) = -8 \cdot 5 = -40\] Jadi, nilai \(f(7)\) adalah \(-40\).

C. \(39\).

Penjelasan:
Diketahui \(S_n = 5n^2 - 6n\) adalah jumlah \(n\) suku pertama barisan aritematika. Maka, suku ke-\(n\) dapat dicari dengan rumus: \[a_n = S_n - S_{n-1}\] Dengan \(S_{n-1} = 5(n-1)^2 - 6(n-1)\). Maka, kita substitusi: \[a_5 = S_5 - S_4\] \[= (5(25) - 30) - (5(16) - 24)\] \[= (125 - 30) - (80 - 24)\] \[= 95 - 56= 39\] Jadi, suku ke-5 barisan tersebut adalah \(39\).

D. \(\dfrac{xy+1}{x}\).

Penjelasan:
Diketahui \({}^{2}\log 3 = x\) dan \({}^{3}\log 7 = y\). Maka: \[ {}^{3}\log 14 = {}^{3}\log (2 \cdot 7) = {}^{3}\log 2 + {}^{3}\log 7 \] Dengan \({}^{3}\log 7 = y\), kita perlu mencari \({}^{3}\log 2\). Karena berlaku sifat \({}^{a}\log b = \tfrac{1}{{}^{b}\log a}\), maka: \[ {}^{3}\log 2 = \frac{1}{{}^{2}\log 3} = \frac{1}{x} \] Sehingga: \[ {}^{3}\log 14 = \frac{1}{x} + y = \frac{xy+1}{x} \] Jadi, \({}^{3}\log 14 = \tfrac{xy+1}{x}\).

A. \(18\).

Penjelasan:
Diketahui sistem persamaan: \[2x - y = 6\] \[2y + 3z = 4\] \[3x - z = 8\] Kita akan mencari nilai \(5x + y + 2z\). Kita tinggal menambahkan ketiga persamaan tersebut: \[5x + y + 2z = 18\] Jadi, nilai \(5x + y + 2z\) adalah \(18\).

D. \(2.0\).

Penjelasan:
Diketahui nilai rata-rata semester I adalah \(7,0\) dengan empat kali tes. Maka, total nilai semester I adalah: \[4 \times 7,0 = 28\] Selanjutnya, diketahui nilai rata-rata setahun adalah \(8,0\) dengan delapan kali tes. Maka, total nilai setahun adalah: \[8 \times 8,0 = 64\] Maka, total nilai semester II adalah: \[64 - 28 = 36\] Dengan delapan kali tes, maka nilai rata-rata semester II adalah: \[\frac{36}{4} = 9,0\] Selisih antara rata-rata semester II dan I adalah: \[9,0 - 7,0 = 2,0\] Jadi, nilai rata-rata pada semester II dibandingkan dengan semester I naik sebesar \(2,0\).

B. \(27\).

Penjelasan:
Diketahui tiga bilangan positif membentuk barisan aritematika dengan beda \(6\). Misalkan bilangan tersebut adalah \(a - 6\), \(a\), dan \(a + 6\). Jika bilangan terbesar ditambah \(12\), maka kita punya: \[a + 6 + 12 = a + 18\] Maka, kita dapatkan barisan geometri dengan suku-suku \(a - 6\), \(a\), dan \(a + 18\). Untuk barisan geometri, berlaku: \[(a - 6)(a + 18) = a^2\] Sederhanakan persamaan tersebut: \[a^2 + 18a - 6a - 108 = a^2\] \[12a - 108 = 0\] \[12a = 108\] \[a = 9\] Maka, tiga bilangan tersebut adalah: \[9 - 6, 9, 9 + 6\] yaitu \(3, 9, 15\). Sehingga, jumlah ketiga bilangan tersebut adalah: \[3 + 9 + 15 = 27\] Jadi, jumlah tiga bilangan tersebut adalah \(27\).