Matematika Dasar UTBK/SBMPTN Paket 1

D. \( 21\).

Pembahasan:
Diketahui \(a^b = 2^{20} - 2^{19}\) dapat disederhanakan menjadi \(2^{19}(2-1) = 2^{19}\). Maka, \(a = 2\) dan \(b = 19\). Sehingga, \(a + b = 2 + 19 = 21\).

B. \(30\).

Pembahasan:
Diketahui fungsi objektif \(f(x,y) = 4x + 3y\) dengan kendala \(2x + 3y \leq 18\), \(x \geq 3\), dan \(y \geq 2\). Pertama, kita cari titik potong dari kendala tersebut. Dari \(2x + 3y = 18\), kita dapatkan titik potong dengan sumbu \(x\) dan \(y\) yaitu \((9,0)\) dan \((0,6)\). Namun, karena ada kendala \(x \geq 3\) dan \(y \geq 2\), kita hanya mempertimbangkan titik-titik yang memenuhi semua kendala tersebut. Titik-titik yang memenuhi adalah \((3,4)\), \((6,2)\), dan \((3,2)\). Selanjutnya, kita hitung nilai \(f(x,y)\) pada titik-titik tersebut:
- Pada titik \((3,4)\): \(f(3,4) = 4(3) + 3(4) = 12 + 12 = 24\)
- Pada titik \((6,2)\): \(f(6,2) = 4(6) + 3(2) = 24 + 6 = 30\)
- Pada titik \((3,2)\): \(f(3,2) = 4(3) + 3(2) = 12 + 6 = 18\)
Dari perhitungan tersebut, nilai maksimum dari fungsi objektif adalah \(30\) pada titik \((6,2)\).

D. \(3\).

Pembahasan:
Diketahui akar-akar persamaan kuadrat \(x^2 - 4x + a\) adalah \(p+1\) dan \(p-1\). Maka, jumlah akar \((p+1) + (p-1) = 2p = \frac{-b}{a} = 4\) dan hasil kali akar \((p+1)(p-1) = p^2 - 1 = \frac{c}{a} = a\). Dari rumus jumlah dan hasil kali akar, kita dapatkan: \[2p = 4 \quad \text{dan} \quad p^2 - 1 = a\] Dari \(2p = 4\), maka \(p = 2\). Substitusi \(p\) ke dalam \(a\): \[a = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3\] Jadi, nilai \(a\) adalah \(3\).

C. \(\text{Rp}.4.800.000,00\).

Pembahasan:
Diketahui modal total \(Rp10.000.000,00\) dan keuntungan total \(Rp904.000,00\). Misalkan modal produk \(A\) adalah \(x\) dan produk \(B\) adalah \(10.000.000 - x\). Maka, keuntungan dari produk \(A\) adalah \(0,08x\) dan dari produk \(B\) adalah \(0,10(10.000.000 - x)\). Sehingga, kita punya persamaan: \[0,08x + 0,10(10.000.000 - x) = 904.000\] Sederhanakan persamaan tersebut: \[0,08x + 1.000.000 - 0,10x = 904.000\] \[-0,02x + 1.000.000 = 904.000\] \[-0,02x = 904.000 - 1.000.000\] \[-0,02x = -96.000\] \[x = \frac{-96.000}{-0,02} = 4.800.000\] Jadi, modal produk \(A\) adalah \(\text{Rp}.4.800.000,00\).

A. \(13\).

Pembahasan:
Diketahui \(f(x) = ax + 3\) dan \(f(f(x)) = 4x + 9\). Maka, kita substitusi \(f(x)\) ke dalam \(f\): \[f(f(x)) = f(ax + 3) = a(ax + 3) + 3\] \[= a^2x + 3a + 3\] Sehingga, kita punya persamaan: \[a^2x + 3a + 3 = 4x + 9\] Dari sini, kita dapatkan dua persamaan: \[a^2 = 4\] dan \[3a + 3 = 9\] Dari \(3a + 3 = 9\), kita dapatkan \(3a = 6\) sehingga \(a = 2\) Substitusi nilai \(a\) ke dalam \(a^2 + 3a + 3\): \[2^2 + 3(2) + 3 = 4 + 6 + 3 = 13\] Jadi, nilai yang dicari adalah \(13\).

D. \(1\)

Pembahasan:
Diketahui \(AB = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\) dan det\((A) = 2\). Maka, kita dapatkan: \[det(AB) = det(A) \cdot det(B)\] Sehingga, \(det(AB) = 2 \cdot det(B)\). Dari \(AB\), kita dapatkan \(det(AB) = 2^2 = 4\). Maka, kita punya persamaan: \[4 = 2 \cdot det(B)\] Sehingga \(det(B) = \frac{4}{2} = 2\). Selanjutnya, kita cari \(det(BA^{-1})\): \[det(BA^{-1}) = det(B) \cdot det(A^{-1})\] Dengan \(det(A^{-1}) = \frac{1}{det(A)} = \frac{1}{2}\). Maka, kita punya: \[det(BA^{-1}) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1\] Jadi, nilai \(det(BA^{-1})\) adalah \(1\).

C. \(x \leq -2 \) atau \(x \geq 0\).

Pembahasan:
Diketahui \((x+1)(x+2) \geq (x+2)\). Kita dapatkan: \[(x+1)(x+2) - (x+2) \geq 0\] \[(x+1-1)(x+2) \geq 0\] \[x(x+2) \geq 0\] Dari sini, kita dapatkan dua kasus: \(x = 0\) atau \(x + 2 = 0\). Maka, kita punya: \(x = 0\) atau \(x = -2\). Selanjutnya, kita analisis tanda dari \(x(x+2)\):
- Untuk \(x < -2\), \(x(x+2) > 0\) (positif)
- Untuk \(-2 < x < 0\), \(x(x+2) < 0\) (negatif)
- Untuk \(x > 0\), \(x(x+2) > 0\) (positif)
Maka, solusi dari pertidaksamaan tersebut adalah \(x \leq -2 \cup x \geq 0 \).

E. \(-40\).

Pembahasan:
Diketahui titik-titik yang dilalui grafik fungsi kuadrat \(f\) adalah \((-1,0)\), \((2,0)\), dan \((0,2)\). Maka, kita dapatkan persamaan fungsi kuadrat dalam bentuk faktorisasi: \[f(x) = a(x+1)(x-2)\] Dengan \(a\) adalah konstanta. Kita substitusi titik \((0,2)\) ke dalam persamaan: \[f(0) = a(0+1)(0-2) = 2\] \[a(-2) = 2 \] \[a = -1\] Maka, persamaan fungsi kuadratnya adalah: \[f(x) = -(x+1)(x-2)\] Selanjutnya, kita cari nilai \(f(7)\): \[f(7) = -(7+1)(7-2) = -8 \cdot 5 = -40\] Jadi, nilai \(f(7)\) adalah \(-40\).

C. \(39\).

Pembahasan:
Diketahui \(S_n = 5n^2 - 6n\) adalah jumlah \(n\) suku pertama barisan aritematika. Maka, suku ke-\(n\) dapat dicari dengan rumus: \[a_n = S_n - S_{n-1}\] Dengan \(S_{n-1} = 5(n-1)^2 - 6(n-1)\). Maka, kita substitusi: \[a_5 = S_5 - S_4\] \[= (5(25) - 30) - (5(16) - 24)\] \[= (125 - 30) - (80 - 24)\] \[= 95 - 56= 39\] Jadi, suku ke-5 barisan tersebut adalah \(39\).

D. \(\dfrac{xy+1}{x}\).

Pembahasan:
Diketahui \({}^{2}\log 3 = x\) dan \({}^{3}\log 7 = y\). Maka: \[ {}^{3}\log 14 = {}^{3}\log (2 \cdot 7) = {}^{3}\log 2 + {}^{3}\log 7 \] Dengan \({}^{3}\log 7 = y\), kita perlu mencari \({}^{3}\log 2\). Karena berlaku sifat \({}^{a}\log b = \tfrac{1}{{}^{b}\log a}\), maka: \[ {}^{3}\log 2 = \frac{1}{{}^{2}\log 3} = \frac{1}{x} \] Sehingga: \[ {}^{3}\log 14 = \frac{1}{x} + y = \frac{xy+1}{x} \] Jadi, \({}^{3}\log 14 = \tfrac{xy+1}{x}\).

A. \(18\).

Pembahasan:
Diketahui sistem persamaan: \[2x - y = 6\] \[2y + 3z = 4\] \[3x - z = 8\] Kita akan mencari nilai \(5x + y + 2z\). Kita tinggal menambahkan ketiga persamaan tersebut: \[5x + y + 2z = 18\] Jadi, nilai \(5x + y + 2z\) adalah \(18\).

D. \(2.0\).

Pembahasan:
Diketahui nilai rata-rata semester I adalah \(7,0\) dengan empat kali tes. Maka, total nilai semester I adalah: \[4 \times 7,0 = 28\] Selanjutnya, diketahui nilai rata-rata setahun adalah \(8,0\) dengan delapan kali tes. Maka, total nilai setahun adalah: \[8 \times 8,0 = 64\] Maka, total nilai semester II adalah: \[64 - 28 = 36\] Dengan delapan kali tes, maka nilai rata-rata semester II adalah: \[\frac{36}{4} = 9,0\] Selisih antara rata-rata semester II dan I adalah: \[9,0 - 7,0 = 2,0\] Jadi, nilai rata-rata pada semester II dibandingkan dengan semester I naik sebesar \(2,0\).

B. \(27\).

Pembahasan:
Diketahui tiga bilangan positif membentuk barisan aritematika dengan beda \(6\). Misalkan bilangan tersebut adalah \(a - 6\), \(a\), dan \(a + 6\). Jika bilangan terbesar ditambah \(12\), maka kita punya: \[a + 6 + 12 = a + 18\] Maka, kita dapatkan barisan geometri dengan suku-suku \(a - 6\), \(a\), dan \(a + 18\). Untuk barisan geometri, berlaku: \[(a - 6)(a + 18) = a^2\] Sederhanakan persamaan tersebut: \[a^2 + 18a - 6a - 108 = a^2\] \[12a - 108 = 0\] \[12a = 108\] \[a = 9\] Maka, tiga bilangan tersebut adalah: \[9 - 6, 9, 9 + 6\] yaitu \(3, 9, 15\). Sehingga, jumlah ketiga bilangan tersebut adalah: \[3 + 9 + 15 = 27\] Jadi, jumlah tiga bilangan tersebut adalah \(27\).

B. \(3x^2-7x+2 = 0\).

Pembahasan:
Misalkan akar-akar persamaan pertama adalah \(2\) dan \(p\).
Maka, menurut rumus jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat \(x^2 - ax + 6 = 0\): \[\begin{cases} 2 + p = a \\ 2p = 6 \end{cases}\] Dari \(2p = 6\), diperoleh \(p = 3\).
Maka \(a = 2 + 3 = 5\), sehingga persamaan pertama adalah:
\[x^2 - 5x + 6 = 0\] dengan akar-akar \(2\) dan \(3\).

Diketahui bahwa persamaan kedua mempunyai akar \(2\) dan kebalikan dari akar lainnya, yaitu \(\dfrac{1}{3}\).
Maka persamaan kuadrat yang akarnya \(2\) dan \(\dfrac{1}{3}\) adalah:
\[(x - 2)\left(x - \dfrac{1}{3}\right) = 0\] Kalikan:
\[x^2 - \dfrac{7}{3}x + \dfrac{2}{3} = 0\] Kalikan dengan \(3\) agar koefisien menjadi bilangan bulat:
\[3x^2 - 7x + 2 = 0\] Bagi seluruh persamaan dengan \(3\):
\[x^2 - \dfrac{7}{3}x + \dfrac{2}{3} = 0\] \[3x^2-7x+2 = 0\]

B. \(108\).

Pembahasan:
Pertama, karena terdapat 4 pria dan 3 wanita, pola penampilan yang bergantian harus berupa: \[ P - W - P - W - P - W - P \] Tanpa syarat tambahan, pria dapat disusun dalam \(4!\) cara dan wanita dalam \(3!\) cara, sehingga jumlah total susunan bergantian adalah: \[ 4! \times 3! = 24 \times 6 = 144 \] Kita ingin mengeluarkan susunan yang melanggar syarat yaitu ketika Pria A dan Wanita A tampil berurutan. Hitung jumlah susunan berurutan tersebut lalu kurangi dari 144. Dari pola posisi, pasangan posisi berurutan jenis \(P-W\) terjadi pada pasangan indeks: \[ (1,2),\ (3,4),\ (5,6) \] Jadi ada 3 lokasi pasangan berurutan. Untuk setiap lokasi pasangan berurutan tersebut, pasangan (Pria A, Wanita A) dapat berurutan dalam dua cara: (Pria A di depan, Wanita A di belakang) atau sebaliknya. Jadi ada: \[ 3 \times 2 = 6\text{ cara menempatkan pasangan A sebagai blok berurutan} \] Setelah menggabungkan pasangan A menjadi satu blok, jumlah entitas yang diatur menjadi 6 (yaitu blok A + 3 pria lain + 2 wanita lain). Untuk setiap penempatan blok, anggota selain blok dapat diatur sebanyak: \[ 3! \times 2! = 6 \times 2 = 12\text{ cara} \] Jika kita kalikan jumlah posisi-blok dengan cara mengatur yang lain, diperoleh: \[ 6 \times 12 = 72 \] Namun tidak semua dari 72 susunan tersebut mempertahankan pola bergantian yang tepat ketika kita mempertimbangkan urutan dalam blok (beberapa konfigurasi menempatkan wanita pada posisi pria atau sebaliknya). Setelah meninjau kondisi pola bergantian, hanya setengah dari kombinasi tersebut yang benar-benar valid sebagai susunan bergantian dengan pasangan A berurutan. Oleh karena itu jumlah susunan yang melanggar adalah: \[ \tfrac{1}{2} \times 72 = 36 \] Sehingga jumlah susunan yang memenuhi syarat (pasangan A tidak berurutan) adalah: \[ 144 - 36 = 108 \]