Matematika Dasar UTBK/SBMPTN Paket 2

C. \( 6k \).

Penjelasan:
Diketahui \( {}^{4}\log 3 = k \) yang mana persamaan tersebut sama saja dengan \( \frac{1}{2} {}^{2}\log 3= k \) . Maka, kita dapatkan: \[ {}^{2}\log 27 = {}^{2}\log (3^3) = 3 \cdot {}^{2}\log 3 \] Dengan substitusi \( {}^{2}\log 3 = 2k \), maka kita dapatkan: \[ {}^{2}\log 27 = 3 \cdot (2k) = 6k \] Jadi, jawaban yang benar adalah \( 6k \).

D. \(3\) .

Penjelasan:
Diketahui akar-akar persamaan kuadrat \(x^2 - 4x + a\) adalah \(p+1\) dan \(p-1\). Maka, jumlah akar \((p+1) + (p-1) = 2p = \frac{-b}{a} = 4\) dan hasil kali akar \((p+1)(p-1) = p^2 - 1 = \frac{c}{a} = a\).
Dari rumus jumlah dan hasil kali akar, kita dapatkan: \[2p = 4 \quad \text{dan} \quad p^2 - 1 = a\] Dari \(2p = 4\), maka \(p = 2\). Substitusi \(p\) ke dalam \(a\): \[a = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3\] Jadi, nilai \(a\) adalah \(3\).

C. \(-18\).

Penjelasan:
Diketahui titik-titik yang dilalui fungsi kuadrat \(f\) adalah \( (1,0), (4,0), \) dan \( (0,-4) \). Dari titik \( (1,0) \) dan \( (4,0) \), kita dapatkan akar-akar fungsi kuadrat tersebut yaitu \(x = 1\) dan \(x = 4\). Maka, kita dapatkan bentuk umum fungsi kuadrat: \[f(x) = a(x-1)(x-4)\] Dengan substitusi titik \( (0,-4) \): \[-4 = a(0-1)(0-4)\] \[-4 = 4a\] Maka, \(a = -1\). Sehingga, fungsi kuadratnya adalah: \[f(x) = -(x-1)(x-4)\] \[= -x^2 + 5x - 4\] Selanjutnya, kita cari nilai \(f(7)\): \[f(7) = -7^2 + 5(7) - 4\] \[= -49 + 35 - 4 = -18\] Jadi, nilai \(f(7)\) adalah \(-18\).

B. \( x \leq -2 \) atau \( x \geq 1 \).

Penjelasan:
Diketahui pertidaksamaan \((x+3)(x-1) \geq (x-1)\). Kita dapatkan: \[(x+3)(x-1) - (x-1) \geq 0\] \[(x+3-1)(x-1) \geq 0\] \[(x+2)(x-1) \geq 0\] Dari sini, kita dapatkan dua kasus: \(x = -2\) atau \(x = 1\). Maka, kita punya: \(x = -2\) atau \(x = 1\). Selanjutnya, kita analisis tanda dari \((x+2)(x-1)\):
- Untuk \(x < -2\), tanda \((x+2)(x-1)\) adalah positif.
- Untuk \(-2 < x < 1\), tanda \((x+2)(x-1)\) adalah negatif.
- Untuk \(x > 1\), tanda \((x+2)(x-1)\) adalah positif.
Maka, solusi dari pertidaksamaan tersebut adalah: \(x \leq -2\) atau \(x \geq 1\).
Jadi, jawaban yang benar adalah B. \( x \leq -2 \) atau \( x \geq 1 \).

B. \(3\).

Penjelasan:
Diketahui bahwa nilai rata-rata Ani setelah tes ke-\(n\) adalah \(80\) dengan nilai tes berikutnya \(83\). Maka, kita dapatkan persamaan: \[\frac{S + 83}{n + 1} = 80\] Di mana \(S\) adalah jumlah nilai Ani sebelum tes ke-\(n+1\). Dari sini, kita dapatkan: \[S + 83 = 80(n + 1)\] \[S + 83 = 80n + 80\] \[S = 80n - 3\] Selanjutnya, jika nilai tes tersebut adalah \(67\), maka rata-ratanya menjadi \(76\): \[\frac{S + 67}{n + 1} = 76\] Maka, kita dapatkan: \[S + 67 = 76(n + 1)\] \[S + 67 = 76n + 76\] \[S = 76n + 9\] Dengan menyamakan kedua persamaan \(S\): \[80n - 3 = 76n + 9\] \[80n - 76n = 9 + 3\] \[4n = 12\] \[n = 3\] Jadi, nilai \(n\) adalah \(3\).

D. \(6\)

Penjelasan:
Diketahui matriks \(A\), \(B\), dan \(C\). Pertama, kita hitung hasil kali \(AB\): \[AB = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\] \[= \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 + (-3) \cdot 1 & 1 \cdot 0 + (-3) \cdot 1 \\ 1 \cdot 2 + 0 \cdot 1 & 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 \end{pmatrix}\] \[= \begin{pmatrix} 2 - 3 & 0 - 3 \\ 2 + 0 & 0 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}\] Selanjutnya, kita hitung \(AB - C\): \[AB - C = \begin{pmatrix} -1 & -3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\] \[= \begin{pmatrix} -1 - 5 & -3 - 3 \\ 2 - 2 & 0 - 1 \end{pmatrix}\] \[= \begin{pmatrix} -6 & -6 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\] Terakhir, kita hitung determinan dari matriks tersebut: \[\text{det}(AB - C) = (-6)(-1) - (-6)(0)\] \[= 6 - 0 = 6\] Jadi, det \(AB - C\) adalah \(6\).

E. \(2\).

Penjelasan:
Diketahui barisan bilangan \( a+2, a-3, a-4 \) merupakan barisan aritematika. Maka, selisih antara suku kedua dan suku pertama harus sama dengan selisih antara suku ketiga dan suku kedua.
Jadi, kita punya: \[(a-3+x) - (a+2) = (a-4) - (a-3+x)\] Dengan menyederhanakan, kita dapatkan: \[a - 3 + x - a - 2 = a - 4 - a + 3 - x\] \[-5 + x = -1 - x\] Dengan menyelesaikan persamaan tersebut, kita dapatkan: \[2x = 4\] \[x = 2\] Jadi, suku kedua harus ditambah dengan \(2\) agar barisan tersebut menjadi barisan aritematika.

A. \(11\).

Penjelasan:
Diketahui suku pertama barisan aritematika adalah \(-2\) dan beda \(3\). Maka, suku ke-\(n\) dapat dinyatakan sebagai: \[a_n = -2 + (n-1) \cdot 3 = -2 + 3n - 3\] \[= 3n - 5\] Jumlah \(n\) suku pertama deret aritematika adalah: \[S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) = \frac{n}{2} (-2 + (3n - 5))\] \[= \frac{n}{2} (3n - 7)\] Maka, kita dapatkan: \[S_n = \frac{3n^2 - 7n}{2}\] Selanjutnya, kita cari \(S_{n+2}\): \[S_{n+2} = \frac{3(n+2)^2 - 7(n+2)}{2} \] \[=\frac{3(n^2 + 4n + 4) - 7n - 14}{2}\] \[= \frac{3n^2 + 12n + 12 - 7n - 14}{2}\] \[= \frac{3n^2 + 5n - 2}{2}\] Dengan substitusi ke dalam persamaan \(S_{n+2} - S_n = 65\): \[\frac{3n^2 + 5n - 2}{2} - \frac{3n^2 - 7n}{2} = 65\] \[\frac{3n^2 + 5n - 2 - 3n^2 + 7n}{2} = 65\] \[\frac{12n - 2}{2} = 65\] \[6n - 1 = 65\] \[6n = 66\] \[n = 11\] Jadi, nilai \(n\) adalah \(11\).

D. \(10\).

Penjelasan:
Diketahui total ayam adalah \(40\) ekor, dengan \(15\) ekor jantan dan \(25\) ekor betina. Dari ayam jantan, \(7\) ekor berwarna putih, sehingga ayam jantan yang tidak berwarna putih adalah \(15 - 7 = 8\) ekor.
Diketahui total ayam berwarna putih adalah \(22\) ekor. Maka, ayam betina yang berwarna putih adalah \(22 - 7 = 15\) ekor.
Dengan demikian, ayam betina yang tidak berwarna putih adalah \(25 - 15 = 10\) ekor.
Jadi, banyaknya ayam betina yang tidak berwarna putih adalah \(10\) ekor.

E. \(3\).

Penjelasan:
Diketahui fungsi \(f(x) = ax + 3\). Untuk mencari inversnya, kita ganti \(f(x)\) dengan \(y\): \[y = ax + 3\] \[y - 3 = ax\] \[x = \frac{y - 3}{a}\] Jadi, invers dari fungsi tersebut adalah: \[f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{a}\] Selanjutnya, kita substitusi \(f^{-1}(9)\): \[f^{-1}(9) = \frac{9 - 3}{a} = \frac{6}{a}\] Kemudian, kita substitusi lagi ke dalam \(f^{-1}(f^{-1}(9))\): \[f^{-1}\left(\frac{6}{a}\right) = \frac{\frac{6}{a} - 3}{a} = \frac{6 - 3a}{a^2}\] Diketahui bahwa \(f^{-1}(f^{-1}(9)) = 3\), maka kita punya: \[\frac{6 - 3a}{a^2} = 3\] Dengan menyelesaikan persamaan tersebut, kita dapatkan: \[6 - 3a = 3a^2\] \[3a^2 + 3a - 6 = 0\] \[a^2 + a - 2 = 0\] Dengan memfaktorkan, kita dapatkan: \[(a + 2)(a - 1) = 0\] Maka, \(a = -2\) atau \(a = 1\). kita masukka \(a = 1\) atau \(a = -2\). Selanjutnya, kita hitung \(a^2 + a + 1\): \[a^2 + a + 1 = 1^2 + 1 + 1 = 3\] Jadi, nilai \(a^2 + a + 1\) adalah \(3\).