Matematika Dasar UTBK/SBMPTN Paket 2

A. \( \frac{3}{4} \).

Penjelasan:
Diketahui \( {}^{b}\log a + {}^{b}\log a^2 =4 \). Kita dapat menyederhanakan persamaan tersebut menggunakan sifat logaritma: \[{}^{b}\log a + {}^{b}\log a^2 = {}^{b}\log (a \cdot a^2) = {}^{b}\log a^3\] Maka, kita punya: \[{}^{b}\log a^3 = 4\] Dengan menggunakan definisi logaritma, kita dapat menulis ulang persamaan tersebut menjadi: \[b^4 = a^3\] Selanjutnya, kita ingin mencari nilai \( {}^{a}\log b \). Kita dapat menggunakan perubahan basis logaritma: \[{}^{a}\log b = \frac{{}^{b}\log b}{{}^{b}\log a}\] Kita tahu bahwa \( {}^{b}\log b = 1 \) dan dari persamaan sebelumnya kita punya \( {}^{b}\log a^3 = 4 \), sehingga \( {}^{b}\log a = \frac{4}{3} \). Maka, kita dapatkan: \[{}^{a}\log b = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}\] Jadi, jawaban yang benar adalah \( \frac{3}{4} \).

A. \(-17\).

Penjelasan:
Diketahui titik puncak fungsi kuadrat adalah \((-2,-1)\) dan melalui titik \((0,-5)\). Kita dapat menuliskan persamaan fungsi kuadrat dalam bentuk vertex: \[f(x) = a(x - h)^2 + k\] Dengan \( (h,k) \) adalah titik puncak, sehingga kita punya: \[f(x) = a(x + 2)^2 - 1\] Selanjutnya, kita substitusi titik \((0,-5)\) ke dalam persamaan untuk mencari nilai \(a\): \[-5 = a(0 + 2)^2 - 1\] \[-5 = 4a - 1\] \[-4 = 4a\] Maka, \(a = -1\). Sehingga, persamaan fungsi kuadratnya adalah: \[f(x) = -(x + 2)^2 - 1\] Selanjutnya, kita cari nilai \(f(2)\): \[f(2) = -(2 + 2)^2 - 1\] \[= -(4)^2 - 1\] \[= -16 - 1\] \[= -17\] Jadi, nilai \(f(2)\) adalah \(-17\).

C. \(-18\).

Penjelasan:
Diketahui titik-titik yang dilalui fungsi kuadrat \(f\) adalah \( (1,0), (4,0), \) dan \( (0,-4) \). Dari titik \( (1,0) \) dan \( (4,0) \), kita dapatkan akar-akar fungsi kuadrat tersebut yaitu \(x = 1\) dan \(x = 4\). Maka, kita dapatkan bentuk umum fungsi kuadrat: \[f(x) = a(x-1)(x-4)\] Dengan substitusi titik \( (0,-4) \): \[-4 = a(0-1)(0-4)\] \[-4 = 4a\] Maka, \(a = -1\). Sehingga, fungsi kuadratnya adalah: \[f(x) = -(x-1)(x-4) = -x^2 + 5x - 4\] Selanjutnya, kita cari nilai \(f(7)\): \[f(7) = -7^2 + 5(7) - 4 = -49 + 35 - 4 = -18\] Jadi, nilai \(f(7)\) adalah \(-18\).

D. \(8 \).

Penjelasan:
Diketahui sistem persamaan: \[x + z = 2 \quad (1)\] \[y + 4z = 4 \quad (2)\] \[2x + y = 6 \quad (3)\]. Kurangkan persamaan (3) dengan (1) dan jumlahkan dengan (2): \[(2x + y) - (x + z) + (y + 4z)\] \[= 6 - 2 + 4\] \[x + 2y + 3z = 8\] Jadi, nilai \(x + 2y + 3z\) adalah \(8\).

C. \(70\).

Penjelasan:
Diketahui rata-rata nilai tes matematika dari \(20\) siswa adalah \(65\) dan rata-rata dari \(10\) siswa lainnya adalah \(80\). Kita dapat menghitung total nilai dari kedua kelompok siswa tersebut: \[ = 20 \times 65 = 1300 \] \[ \text{Total nilai 10 siswa} = 10 \times 80 = 800 \] Selanjutnya, kita jumlahkan total nilai dari kedua kelompok siswa: \[ 1300 + 800 = 2100 \] Jumlah total siswa adalah \(20 + 10 = 30\). Maka, kita dapat menghitung rata-rata nilai semua siswa: \[ \frac{2100}{30} = 70 \] Jadi, nilai rata-rata semua siswa kelas \(A\) adalah \(70\).

B. \(-3\)

Penjelasan:
Diketahui matriks \( A \) dan \( B \) serta det\(AB=12\). Pertama, kita hitung matriks hasil perkalian \( AB \): \[ AB = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \] \[= \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 + 0 \cdot 0 & 2 \cdot 5 + 0 \cdot -2 \\ 1 \cdot 1 + x \cdot 0 & 1 \cdot 5 + x \cdot -2 \end{pmatrix}\] \[= \begin{pmatrix} 2 & 10 \\ 1 & 5 - 2x \end{pmatrix} \] Selanjutnya, kita hitung determinan dari matriks \( AB \): \[\text{det}(AB) = (2)(5 - 2x) - (10)(1)\] \[= 10 - 4x - 10 = -4x\] Dengan det\(AB = 12\), kita punya: \[-4x = 12\] \[x = -3\] Jadi, nilai \(x\) adalah \(-3\).

B. \(501\).

Penjelasan:
Diketahui barisan aritematika dengan suku pertama \(a_1 = -999\) dan beda \(d = 2\). Suku ke-\(n\) dari barisan aritematika dapat dinyatakan sebagai: \[a_n = a_1 + (n-1)d\] \[= -999 + (n-1) \cdot 2\] \[= -999 + 2n - 2\] \[= 2n - 1001\] Kita ingin mencari suku pertama yang bernilai positif, sehingga kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan: \[2n - 1001 > 0\] \[2n > 1001\] \[n > 500.5\] Karena \(n\) harus berupa bilangan bulat, maka nilai terkecil dari \(n\) yang memenuhi pertidaksamaan tersebut adalah \(n = 501\). Jadi, suku bernilai positif yang pertama kali adalah suku ke \(501\).

E. \(8\).

Penjelasan:
Diketahui jumlah \(n\) suku pertama deret geometri adalah \(S_n = 3(2^{n+1} - 2)\). Kita dapat menyederhanakan ekspresi tersebut: \[S_n = 3 \cdot 2^{n+1} - 6\] \[= 6 \cdot 2^n - 6\] \[= 6(2^n - 1)\] Jumlah \(n\) suku pertama deret geometri juga dapat dinyatakan sebagai: \[S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1}\] Dengan menyamakan kedua ekspresi untuk \(S_n\), kita dapatkan: \[a \frac{r^n - 1}{r - 1} = 6(2^n - 1)\] Untuk \(n = 1\), kita substitusi ke dalam persamaan: \[a \frac{r^1 - 1}{r - 1} = 6(2^1 - 1)\] \[a \frac{r - 1}{r - 1} = 6(2 - 1)\] \[a = 6\] Selanjutnya, untuk \(n = 2\), kita substitusi kembali: \[6 \frac{r^2 - 1}{r - 1} = 6(2^2 - 1)\] \[\frac{r^2 - 1}{r - 1} = 3\] Dengan memfaktorkan \(r^2 - 1\) menjadi \((r - 1)(r + 1)\), kita dapatkan: \[(r + 1) = 3\] \[r = 2\] Jadi, nilai \(a + r = 6 + 2 = 8\).

C. \(8\).

Penjelasan:
Diketahui fungsi \(f(x) = 5x - 3\) dan \(g(x) = 3x + b\). Pertama, kita cari invers dari fungsi \(f\). Kita ganti \(f(x)\) dengan \(y\): \[y = 5x - 3\] \[y + 3 = 5x\] \[x = \frac{y + 3}{5}\] Jadi, invers dari fungsi tersebut adalah: \[f^{-1}(x) = \frac{x + 3}{5}\] Selanjutnya, kita substitusi \(g(0)\): \[g(0) = 3(0) + b = b\] Kemudian, kita substitusi ke dalam \(f^{-1}(g(0))\): \[f^{-1}(b) = \frac{b + 3}{5}\] Diketahui bahwa \(f^{-1}(g(0)) = 1\), maka kita punya: \[\frac{b + 3}{5} = 1\] Dengan menyelesaikan persamaan tersebut, kita dapatkan: \[b + 3 = 5\] \[b = 2\] Sekarang kita substitusi nilai \(b\) ke dalam fungsi \(g(x)\) untuk mencari \(g(2)\): \[g(2) = 3(2) + 2 = 6 + 2 = 8\] Jadi, nilai \(g(2)\) adalah \(8\).

C. \(80\).

Penjelasan:
Diketahui rata-rata nilai tes matematika dari \(10\) siswa adalah \(65\). Maka, total nilai dari \(10\) siswa tersebut adalah: \[ \text{Total nilai 10 siswa} = 10 \times 65 = 650 \] Setelah ditambah \(5\) siswa lainnya, rata-rata menjadi \(70\). Maka, total nilai dari \(15\) siswa adalah: \[ \text{Total nilai 15 siswa} = 15 \times 70 = 1050 \] Selanjutnya, kita dapat menghitung total nilai dari \(5\) siswa yang ditambahkan: \[ 1050 - 650 = 400 \] Maka, nilai rata-rata dari \(5\) siswa tersebut adalah: \[ \text{Rata-rata 5 siswa} = \frac{400}{5} = 80 \] Jadi, nilai rata-rata \(5\) siswa yang ditambahkan tersebut adalah \(80\).

E. \(24\).

Penjelasan:
Misalkan suku pertama barisan aritmetika adalah \(a\) dan beda barisan tersebut adalah \(d\). Diketahui bahwa \(a = 4d\). Jumlah empat suku pertama dari barisan aritmetika dapat dihitung dengan rumus: \[S_4 = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d)\] Dengan \(n = 4\), kita punya: \[S_4 = \frac{4}{2} (2a + 3d) = 2(2a + 3d) = 4a + 6d\] Substitusi \(a = 4d\) ke dalam persamaan: \[S_4 = 4(4d) + 6d = 16d + 6d = 22d\] Diketahui bahwa \(S_4 = 66\), maka: \[22d = 66\] \[d = 3\] Dengan \(d = 3\), kita dapatkan \(a\): \[a = 4d = 4(3) = 12\] Suku kelima dari barisan aritmetika dapat dihitung dengan rumus: \[a_5 = a + 4d = 12 + 4(3) = 12 + 12 = 24\] Jadi, suku kelima barisan tersebut adalah \(24\).

C. \(25%\).

Penjelasan:
Misalkan harga awal barang adalah \(P\). Setelah diberi potongan harga sebesar \(20%\), harga barang menjadi: \[P' = P - 0.20P = 0.80P\] Untuk mengembalikan harga barang ke harga semula \(P\), kita perlu menaikkan harga \(P'\) sebesar persentase tertentu \(x\%\). Maka, kita punya: \[P = P' + \frac{x}{100}P'\] \[P = 0.80P + \frac{x}{100}(0.80P)\] \[P = 0.80P(1 + \frac{x}{100})\] Dengan menyederhanakan, kita dapatkan: \[1 = 0.80(1 + \frac{x}{100})\] \[\frac{1}{0.80} = 1 + \frac{x}{100}\] \[1.25 = 1 + \frac{x}{100}\] \[\frac{x}{100} = 0.25\] \[x = 25\] Jadi, untuk mengembalikan harga barang ke harga semula, harganya harus dinaikkan sebesar \(25%\).

D. \(7\).

Penjelasan:
Diketahui fungsi \(f(x) = 2x + 5\) dan \(g(x) = ax + 4\). Pertama, kita hitung \(f(1)\): \[f(1) = 2(1) + 5 = 2 + 5 = 7\] Selanjutnya, kita substitusi hasil tersebut ke dalam fungsi \(g\): \[g(f(1)) = g(7) = a(7) + 4 = 7a + 4\] Diketahui bahwa \(g(f(1)) = 25\), maka kita punya: \[7a + 4 = 25\] Dengan menyelesaikan persamaan tersebut, kita dapatkan: \[7a = 21\] \[a = 3\] Sekarang kita substitusi nilai \(a\) ke dalam fungsi \(g(x)\) untuk mencari \(g(1)\): \[g(1) = 3(1) + 4 = 3 + 4 = 7\] Jadi, nilai \(g(1)\) adalah \(7\).