Matematika Dasar UTBK/SBMPTN Paket 4

C. \( 2 \sqrt{2} \).

Penjelasan:
Diketahui persamaan \( 9^{m+1} - 2 \cdot 9^m = 14 \). Kita dapat menyederhanakan persamaan ini dengan memfaktorkan \( 9^m \): \[ 9^m(9 - 2) = 14 \] \[ 7 \cdot 9^m = 14 \] \[ 9^m = 2 \] Selanjutnya, kita ingin mencari nilai \( 27^m \). Kita tahu bahwa \( 27 = 3^3 \) dan \( 9 = 3^2 \), sehingga kita dapat menulis ulang \( 9^m \) dalam bentuk basis \( 3 \): \[ 9^m = (3^2)^m = 3^{2m} \] Dari persamaan sebelumnya, kita punya: \[ 3^{2m} = 2 \] Untuk mencari \( 27^m \), kita tulis ulang \( 27^m \) dalam bentuk basis \( 3 \): \[ 27^m = (3^3)^m = 3^{3m} \] Kita dapat mengekspresikan \( 3^{3m} \) dalam bentuk \( 3^{2m} \): \[ 3^{3m} = 3^{2m} \cdot 3^m \] Kita sudah mengetahui bahwa \( 3^{2m} = 2 \), sehingga kita perlu mencari \( 3^m \). Dari persamaan \( 3^{2m} = 2 \), kita dapatkan: \[ 3^m = \sqrt{2} \] Maka, kita substitusi kembali ke dalam ekspresi untuk \( 27^m \): \[ 27^m = 3^{2m} \cdot 3^m = 2 \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \] Jadi, nilai \( 27^m \) adalah \( 2\sqrt{2} \).

B. \(\frac{1}{2}\).

Penjelasan:
Misalakan \(x = {}^2 \log a\) dan \(y = {}^2 \log b\). Maka, kita punya sistem persamaan: \[x - 2y = 2 \quad (1)\] \[y - 2x = -1 \quad (2)\] Kita dapat menyelesaikan sistem persamaan ini dengan metode substitusi atau eliminasi. Dari persamaan (1), kita dapatkan: \[x = 2 + 2y\] Substitusi nilai \(x\) ke dalam persamaan (2): \[y - 2(2 + 2y) = -1\] \[y - 4 - 4y = -1\] \[-3y - 4 = -1\] \[-3y = 3\] \[y = -1\] Selanjutnya, substitusi nilai \(y\) kembali ke persamaan (1) untuk mencari \(x\): \[x - 2(-1) = 2\] \[x + 2 = 2\] \[x = 0\] Sekarang kita punya \(x = {}^2 \log a = 0\) dan \(y = {}^2 \log b = -1\). Dari sini, kita dapatkan: \[a = 2^0 = 1\] \[b = 2^{-1} = \frac{1}{2}\] Maka, nilai \(ab\) adalah: \[ab = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\] Jadi, nilai \(ab\) adalah \(\frac{1}{2}\).

A. \(-1\).

Penjelasan:
Diketahui persamaan kuadrat \(x^2 + mx + 2 - 2m^2 = 0\) dengan akar-akar \(x_1\) dan \(x_2\). Menurut rumus Vieta, kita punya: \[x_1 + x_2 = -m \quad (1)\] \[x_1 x_2 = 2 - 2m^2 \quad (2)\] Diketahui juga bahwa \(2x_1 + x_2 = 2\). Kita dapat mengekspresikan \(x_2\) dari persamaan ini: \[x_2 = 2 - 2x_1 \quad (3)\] Substitusi persamaan (3) ke dalam persamaan (1): \[x_1 + (2 - 2x_1) = -m\] \[-x_1 + 2 = -m\] \[x_1 = m + 2 \quad (4)\] Selanjutnya, substitusi persamaan (4) ke dalam persamaan (3) untuk mendapatkan \(x_2\): \[x_2 = 2 - 2(m + 2)\] \[= 2 - 2m - 4\] \[= -2m - 2 \quad (5)\] Sekarang kita substitusi \(x_1\) dan \(x_2\) dari persamaan (4) dan (5) ke dalam persamaan (2): \[(m + 2)(-2m - 2) = 2 - 2m^2\] \[-2m^2 - 2m - 4m - 4 = 2 - 2m^2\] \[-6m - 4 = 2\] \[-6m = 6\] \[m = -1\] Jadi, nilai \(m\) adalah \(-1\).

E. \( a < 0, b > 0, c > 0 \).

Penjelasan:
Diketahui titik puncak dari fungsi kuadrat \(f(x) = ax^2 + bx + c\) adalah \((8, 4)\). Titik puncak dari fungsi kuadrat dapat dihitung menggunakan rumus: \[ x = -\frac{b}{2a} \] \[ y = f(x) \] Dari titik puncak yang diberikan, kita punya: \[ 8 = -\frac{b}{2a} \] \[ 4 = f(8) = a(8)^2 + b(8) + c \] Dari persamaan pertama, kita dapatkan: \[ b = -16a \] Substitusi nilai \(b\) ke dalam persamaan kedua: \[ 4 = 64a - 128a + c \] \[ 4 = -64a + c \] \[ c = 4 + 64a \] Karena grafik memotong sumbu \(X\) negatif, maka nilai \(a\) harus negatif (karena grafik membuka ke bawah). Jadi, kita punya \(a < 0\). Dengan \(a < 0\), kita substitusi kembali ke dalam persamaan untuk \(b\) dan \(c\): \[ b = -16a > 0 \] (karena \(a < 0\)) \[ c = 4 + 64a > 0 \] (karena \(64a\) adalah negatif yang lebih kecil dari \(4\)) Jadi, kita dapat menyimpulkan bahwa: \[ a < 0, b > 0, c > 0 \] Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah opsi E: \( a < 0, b > 0, c > 0 \).

E. \((1,1 \times 0,75)x\).

Penjelasan:
Ibu mendapat potongan harga sebesar \(25\%\) dari total pembelian, sehingga harga setelah potongan adalah \(75\%\) dari harga awal, yaitu \(0,75x\). Setelah itu, toko membebankan pajak sebesar \(10\%\) dari harga setelah potongan. Jadi, pajak yang harus dibayar adalah \(10\%\) dari \(0,75x\), yaitu \(0,1 \times 0,75x = 0,075x\). Oleh karena itu, total yang harus dibayar ibu adalah harga setelah potongan ditambah pajak: \[ \text{Total yang harus dibayar} = 0,75x + 0,075x = 0,825x \] Namun, dalam pilihan jawaban yang diberikan, tidak ada opsi yang langsung menyatakan \(0,825x\). Jadi, kita perlu mencari opsi yang ekuivalen dengan \(0,825x\). Opsi yang paling mendekati adalah \( (1,1 \times 0,75)x \), karena \(1,1 \times 0,75 = 0,825\). Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah \((1,1 \times 0,75)x\).

D. \(1\)

Penjelasan:
Diketahui matriks \( A \) dan \( B \) sebagai berikut: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & -3 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 3 & a \\ -1 & b \\ 2 & c \end{pmatrix} \] Pertama, kita hitung hasil perkalian matriks \( AB \): \[ AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & a \\ -1 & b \\ 2 & c \end{pmatrix} \] \[ = \begin{pmatrix} 1(3) + 2(-1) + 3(2) & 1(a) + 2(b) + 3(c) \\ 2(3) + 0(-1) + (-3)(2) & 2(a) + 0(b) + (-3)(c) \end{pmatrix} \] \[ = \begin{pmatrix} 3 - 2 + 6 & a + 2b + 3c \\ 6 + 0 - 6 & 2a - 3c \end{pmatrix} \] \[ = \begin{pmatrix} 7 & a + 2b + 3c \\ 0 & 2a - 3c \end{pmatrix} \] Selanjutnya, kita hitung determinan dari matriks \( AB \): \[ \text{det}(AB) = (7)(2a - 3c) - (0)(a + 2b + 3c) \] \[ = 14a - 21c \] Diketahui bahwa det\(AB = 7\), sehingga kita punya persamaan: \[ 14a - 21c = 7 \] \[ 2a - 3c = 1 \] Jadi, nilai \(2a - 3c\) adalah \(1\).

E. \(3\).

Penjelasan:
Diketahui \(a\), \(b\), dan \(c\) adalah suku ke-2, ke-3, dan ke-4 dari suatu barisan geometri. Dalam barisan geometri, setiap suku dapat dinyatakan dalam bentuk suku pertama \(a_1\) dan rasio \(r\): \[ a = a_1 r \] \[ b = a_1 r^2 \] \[ c = a_1 r^3 \] Kita substitusi nilai \(a\), \(b\), dan \(c\) ke dalam persamaan yang diberikan: \[ \frac{(a_1 r)(a_1 r^3)}{2(a_1 r^2) + 3} = 1 \] \[ \frac{a_1^2 r^4}{2a_1 r^2 + 3} = 1 \] Kita kalikan kedua sisi dengan \(2a_1 r^2 + 3\) untuk menghilangkan penyebut: \[ a_1^2 r^4 = 2a_1 r^2 + 3 \] Kita susun ulang persamaan tersebut: \[ a_1^2 r^4 - 2a_1 r^2 - 3 = 0 \] Misalkan \(x = a_1 r^2\), maka persamaan menjadi: \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \] Kita faktorkan persamaan tersebut: \[ (x - 3)(x + 1) = 0 \] Jadi, \(x = 3\) atau \(x = -1\). Karena \(b > 0\), maka kita ambil \(x = 3\): \[ a_1 r^2 = 3 \] Kita substitusi kembali ke dalam persamaan untuk \(b\): \[ b = a_1 r^2 = 3 \] Jadi, nilai \(b\) adalah \(3\).

D. \(41\).

Penjelasan (langkah demi langkah):
Jumlah seluruh permutasi berbeda dari angka \(\{2,3,3,5,8\}\) adalah \(\dfrac{5!}{2!} = 60\).

Hitung kode yang lebih kecil dari \(53283\) dengan menelusuri digit per digit:

Digit pertama lebih kecil dari 5 bisa 2 atau 3.
Jika digit pertama = 2, sisa \{3,3,5,8\}, jumlah permutasi = \(\dfrac{4!}{2!}=12\).
Jika digit pertama = 3, sisa \{2,3,5,8\}, jumlah permutasi = \(4!=24\).
Total untuk digit pertama < 5 = \(12+24=36\).

Jika digit pertama = 5, perhatikan digit kedua. Dari sisa \{2,3,3,8\}, digit kedua lebih kecil dari 3 adalah 2. Jika digit kedua = 2, sisa \{3,3,8\}, jumlah permutasi = \(\dfrac{3!}{2!}=3\). Subtotal sekarang \(36+3=39\).

Jika digit pertama = 5 dan digit kedua = 3, lanjut ke digit ketiga. Sisa \{2,3,8\}. Digit ketiga lebih kecil dari 2 tidak ada, tambahan = 0. Subtotal tetap 39.

Jika digit pertama = 5, digit kedua = 3, digit ketiga = 2, lanjut ke digit keempat. Sisa \{3,8\}. Digit keempat lebih kecil dari 8 adalah 3. Jika digit keempat = 3, sisa \{8\}, hanya 1 kemungkinan. Tambahan = 1. Subtotal = 40.

Jadi ada 40 kode lebih kecil dari \(53283\). Maka posisi kode \(53283\) adalah \(40+1=41\).

Dengan demikian, jawabannya adalah urutan ke-41.

D. \(54\).

Penjelasan:
Diketahui empat bilangan asli yang diurutkan sebagai \(a_1 \leq a_2 \leq a_3 \leq a_4\). Diketahui bahwa median, rata-rata, dan selisih antara data terbesar dan terkecil semuanya adalah \(6\). Dari informasi ini, kita dapat menulis beberapa persamaan:
1. Median: \(\frac{a_2 + a_3}{2} = 6\) sehingga \(a_2 + a_3 = 12\) (Persamaan 1)
2. Rata-rata: \(\frac{a_1 + a_2 + a_3 + a_4}{4} = 6\) sehingga \(a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 24\) (Persamaan 2)
3. Selisih: \(a_4 - a_1 = 6\) sehingga: \(a_4 = a_1 + 6\) (Persamaan 3)
Selanjutnya, kita substitusi Persamaan 3 ke dalam Persamaan 2: \(a_1 + a_2 + a_3 + (a_1 + 6) = 24\) \(2a_1 + a_2 + a_3 = 18\)
Kita substitusi Persamaan 1 ke dalam persamaan di atas: \(2a_1 + 12 = 18\) \(2a_1 = 6\) \(a_1 = 3\) Dengan \(a_1 = 3\),
kita substitusi kembali ke Persamaan 3 untuk mendapatkan \(a_4\): \(a_4 = 3 + 6 = 9\)
Selanjutnya, kita substitusi \(a_1\) ke Persamaan 2 untuk mendapatkan \(a_2 + a_3\): \(3 + a_2 + a_3 + 9 = 24\) \(a_2 + a_3 = 12\) (yang sudah kita ketahui dari Persamaan 1) Karena modusnya tunggal, maka haruslah \(a_2\) dan \(a_3\) adalah \(6\) sehingga didapatkan semua bilangan adalah \(3, 6, 6, 9\). Maka hasil kali data kedua dan keempat adalah \(6 \times 9 = 54\).

C. \(1\).

Penjelasan:
Diketahui \(f^{-1}(\frac{3}{x+3}) = \frac{2x+3}{x+3}\). Kita bisa menukarnya menjadi \(f(\frac{2x+3}{x+3}) = \frac{3}{x+3}\). Kita ingin mencari nilai \(a\) sehingga \(f(a) = 1\). Jadi, kita set \(f(a) = 1\) dan substitusi ke dalam persamaan: \[ 1 = \frac{3}{x+3} \] \[ x + 3 = 3 \] \[ x = 0 \] Sekarang kita substitusi \(x = 0\) ke dalam ekspresi untuk \(a\): \[ a = \frac{2(0) + 3}{0 + 3} = \frac{3}{3} = 1 \] Jadi, nilai \(a\) agar \(f(a) = 1\) adalah \(1\).

B. \(\text{Rp}28.000.000,00\).

Penjelasan:
Misalkan nilai penjualan Andi di masing-masing toko adalah \(x\) rupiah per bulan.
Pendapatan dari toko A: \[\;P_A = 1.000.000 + 10\% \times x = 1.000.000 + 0{,}10x\] Pendapatan dari toko B: \[\;P_B = 600.000 + 25\% \times x = 600.000 + 0{,}25x\] Diketahui \(P_B\) dua kali \(P_A\) \[ 600.000 + 0{,}25x = 2\big(1.000.000 + 0{,}10x\big) \] \[ 600.000 + 0{,}25x = 2.000.000 + 0{,}20x \] Pindahkan suku sejenis:
\[ 0{,}25x - 0{,}20x = 2.000.000 - 600.000 \Rightarrow 0{,}05x = 1.400.000 \] \[ x = \frac{1.400.000}{0{,}05} = 28.000.000 \] Jadi, Andi harus mencatat penjualan sebesar \(\text{Rp}28.000.000,00\) di masing-masing toko.

C. \(2\).

Penjelasan:
Misalkan suku pertama deret geometri adalah \(a=u_1\). Karena deret geometri, suku ganjil membentuk deret geometri dengan rasio \(r^2\): \[ u_1 + u_3 + u_5 + \dots = a + ar^2 + ar^4 + \dots = \frac{a}{1-r^2}. \] Diketahui jumlah suku ganjil tak hingga itu sama dengan 8, sehingga \[ \frac{a}{1-r^2}=8 \quad\text{(1)}. \] Juga diberikan \(u_1+u_3 = a + ar^2 = a(1+r^2)=6\). Dari sini \[ a=\frac{6}{1+r^2} \quad\text{(2)}. \] Substitusi (2) ke (1): \[ \frac{6}{1+r^2}\cdot\frac{1}{1-r^2}=8. \] Karena \((1+r^2)(1-r^2)=1-r^4\), diperoleh \[ \frac{6}{1-r^4}=8 \quad\Rightarrow\quad 1-r^4=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}. \] Maka \[ r^4=1-\tfrac{3}{4}=\tfrac{1}{4}. \] Karena \(r^2\ge0\), maka \(r^2=\sqrt{\tfrac{1}{4}}=\tfrac{1}{2}\). Jadi \[ \frac{1}{r^2}=\frac{1}{1/2}=2. \] Jadi jawaban yang benar adalah C. \(2\).

A. \(2\).

Penjelasan:
Dari persamaan parabola \(y = x^2-(k+3)x+2k\), potongan sumbu-\(Y\) diperoleh dengan \(x=0\), sehingga \(c = 2k\).

Akar-akar parabola adalah \(a\) dan \(b\). Berdasarkan rumus Vieta, diperoleh \(a+b = k+3\) dan \(ab = 2k\).
Karena \(2a+1,\, 2c,\, a+3b\) membentuk barisan aritmetika, berlaku: \[ 2c = \frac{(2a+1) + (a+3b)}{2}. \] Kalikan 2: \[ 4c = 3a + 3b + 1 = 3(a+b) + 1. \] Substitusi \(c=2k\) dan \(a+b=k+3\): \[ 8k = 3(k+3) + 1. \] \[ 8k = 3k + 10. \] \[ 5k = 10 \;\;\Rightarrow\;\; k = 2. \] Jadi, nilai \(k\) adalah \(2\).