Matematika Dasar UTBK/SBMPTN Paket 5

C. \( 3 \).

Penjelasan:
Diketahui matriks \( A \) dan \( B \) sebagai berikut: \[ A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & b \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \] Pertama, kita hitung transpos dari matriks \( A \): \[ A^T = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 1 & b \end{pmatrix} \] Selanjutnya, kita hitung hasil perkalian matriks \( A^T B \): \[ A^T B = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 1 & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \] \[ = \begin{pmatrix} a(1) + 0(2) & a(2) + 0(4) \\ 1(1) + b(2) & 1(2) + b(4) \end{pmatrix} \] \[ = \begin{pmatrix} a & 2a \\ 1 + 2b & 2 + 4b \end{pmatrix} \] Diketahui bahwa \( A^T B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 10 \end{pmatrix} \). Dengan membandingkan elemen-elemen dari kedua matriks, kita dapatkan sistem persamaan berikut: \[ a = 1 \] \[ 2a = 2 \] \[ 1 + 2b = 5 \] \[ 2 + 4b = 10 \] Dari persamaan pertama, kita dapatkan \( a = 1 \). Substitusi nilai \( a \) ke dalam persamaan ketiga: \[ 1 + 2b = 5 \] \[ 2b = 4 \] \[ b = 2 \] Sekarang kita punya \( a = 1 \) dan \( b = 2 \). Maka, nilai \( a + b = 1 + 2 = 3 \).

D. \(3\)

Penjelasan:
Pertidaksamaan: \[ |2x - a| < 5 \] ekuivalen dengan: \[ -5 < 2x - a < 5. \] Tambahkan \(a\) pada semua ruas: \[ a - 5 < 2x < a + 5. \] Bagi semua ruas dengan 2: \[ \frac{a-5}{2} < x < \frac{a+5}{2}. \] Diketahui himpunan penyelesaiannya adalah: \[ -1 < x < 4. \] Maka: \[ \frac{a-5}{2} = -1 \quad\text{dan}\quad \frac{a+5}{2} = 4. \] Dari persamaan pertama: \[ a - 5 = -2 \quad\Rightarrow\quad a = 3. \] Dari persamaan kedua: \[ a + 5 = 8 \quad\Rightarrow\quad a = 3. \] Keduanya konsisten, sehingga diperoleh: \[ a = 3. \] Jadi jawaban yang benar adalah \( 3 \).

A. \(6\).

Penjelasan:
Diketahui fungsi kuadrat \( f(x) = ax^2 + bx + c \) dengan sumbu simetri \( x = 1 \). Sumbu simetri dari fungsi kuadrat dapat dihitung menggunakan rumus \( x = -\frac{b}{2a} \). Dengan demikian, kita dapat menulis: \[ 1 = -\frac{b}{2a} \] Dari persamaan ini, kita dapat menyelesaikan untuk \( b \): \[ b = -2a \] Selanjutnya, kita tahu bahwa \( f(0) = 0 \). Dengan mensubstitusi \( x = 0 \) ke dalam fungsi, kita mendapatkan: \[ f(0) = a(0)^2 + b(0) + c = c \] Jadi, \( c = 0 \). Selanjutnya, kita juga tahu bahwa \( f(4) = -16 \). Dengan mensubstitusi \( x = 4 \) ke dalam fungsi, kita mendapatkan: \[ f(4) = a(4)^2 + b(4) + c = 16a + 4b + c \] Karena \( c = 0 \), kita dapat menyederhanakan persamaan ini menjadi: \[ 16a + 4b = -16 \] Substitusi \( b = -2a \) ke dalam persamaan di atas: \[ 16a + 4(-2a) = -16 \] \[ 16a - 8a = -16 \] \[ 8a = -16 \] \[ a = -2 \] Sekarang, substitusi nilai \( a \) ke dalam persamaan untuk \( b \) \[ b = -2(-2) = 4 \] Akhirnya, kita dapat menghitung \( b - a \): \[ b - a = 4 - (-2) = 4 + 2 = 6 \]

D. \(6\).

Penjelasan:
Misalkan berat lima balita terurut adalah \(w_1 \le w_2 \le w_3 \le w_4 \le w_5\). Diketahui median dan rata-rata dari kelima data sama, sehingga: \[ \text{Median} = w_3,\qquad \text{Rata-rata} = \frac{w_1+w_2+w_3+w_4+w_5}{5}=w_3. \] Dari persamaan rata-rata diperoleh: \[ w_1+w_2+w_3+w_4+w_5 = 5w_3 \quad\Rightarrow\quad w_1+w_2+w_4+w_5 = 4w_3. \] Tambah satu data \(w_6\). Rata-rata baru meningkat 1 kg, sehingga: \[ \frac{w_1+w_2+w_3+w_4+w_5+w_6}{6} = w_3 + 1. \] Gunakan jumlah lima data sebelumnya \(=5w_3\): \[ \frac{5w_3 + w_6}{6} = w_3 + 1 \quad\Rightarrow\quad 5w_3 + w_6 = 6w_3 + 6 \quad\Rightarrow\quad w_6 = w_3 + 6. \] Syarat bahwa median tetap berarti median dari 6 data (yang merupakan rata-rata nilai ke-3 dan ke-4) tetap sama dengan \(w_3\). Jadi: \[ \text{Median baru} = \frac{w_3 + w_4}{2} = w_3 \quad\Rightarrow\quad w_4 = w_3. \] Maka selisih antara data terakhir \(w_6\) dan data ke-4 \(w_4\) adalah: \[ w_6 - w_4 = (w_3 + 6) - w_3 = 6. \] Jadi jawaban yang benar adalah \(6\) kg.

C. \(13\)

Penjelasan:
Misalkan suku pertama \(a\) dan beda barisan \(d\).

Suku ke-5: \[ U_5 = a + 4d. \] Diketahui: \[ \frac{U_1}{U_5} = \frac{a}{a+4d} = -\frac{1}{7}. \] Kalikan silang: \[ 7a = -(a+4d) \quad\Rightarrow\quad 7a = -a - 4d \quad\Rightarrow\quad 8a = -4d \quad\Rightarrow\quad d = -2a. \] Suku ke-6: \[ U_6 = a + 5d. \] Diketahui \(U_6 = 9\), sehingga: \[ a + 5d = 9. \] Substitusi \(d = -2a\): \[ a + 5(-2a) = 9 \quad\Rightarrow\quad a - 10a = 9 \quad\Rightarrow\quad -9a = 9 \quad\Rightarrow\quad a = -1. \] Maka: \[ d = -2(-1) = 2. \] Suku ke-8: \[ U_8 = a + 7d = -1 + 7(2) = -1 + 14 = 13. \] Jadi suku ke-8 adalah \(13\).

D. \(450\)

Penjelasan:
Rata-rata bobot ikan per ekor: \[ \bar{w} = 6 - 0.02x. \] Maka total bobot semua ikan: \[ W(x) = x \cdot (6 - 0.02x) = 6x - 0.02x^2. \] Bentuk \(W(x)\) adalah fungsi kuadrat terbuka ke bawah, sehingga maksimum dicapai di puncaknya: \[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2(-0.02)} = \frac{6}{0.04} = 150. \] Substitusi ke \(W(x)\): \[ W(150) = 6(150) - 0.02(150^2). \] \[ = 900 - 0.02(22500) = 900 - 450 = 450. \] Jadi maksimum total bobot ikan adalah \(450 \, \text{kg}. \)

A. \(\dfrac{5}{4}\)

Penjelasan:
Misalkan suku pertama \(a\) dan rasio \(r\) (dengan \(r<0\)).

Suku ke-3: \[ U_3 = a r^2 = \tfrac{1}{2}. \] Perbandingan suku ke-4 dan suku ke-2: \[ \frac{U_4}{U_2} = \frac{a r^3}{a r} = r^2 = \tfrac{1}{4}. \] Jadi: \[ r^2 = \tfrac{1}{4} \quad\Rightarrow\quad r = -\tfrac{1}{2} \; \text{(karena rasio negatif)}. \] Substitusi ke \(U_3 = \tfrac{1}{2}\): \[ a r^2 = \tfrac{1}{2}, \quad a \cdot \tfrac{1}{4} = \tfrac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad a = 2. \] Jumlah 4 suku pertama: \[ S_4 = a \frac{1-r^4}{1-r}. \] Dengan \(a=2, r=-\tfrac{1}{2}\): \[ S_4 = 2 \cdot \frac{1-(-\tfrac{1}{2})^4}{1-(-\tfrac{1}{2})} = 2 \cdot \frac{1-\tfrac{1}{16}}{1+\tfrac{1}{2}}. \] Hitung: \[ S_4 = 2 \cdot \frac{\tfrac{15}{16}}{\tfrac{3}{2}} = 2 \cdot \tfrac{15}{16} \cdot \tfrac{2}{3} = \tfrac{60}{48} = \tfrac{5}{4}. \] Jadi jumlah 4 suku pertama adalah \( \dfrac{5}{4}. \)

C. \(6\)

Penjelasan:
Pertama cari semua nilai \(a\) yang memenuhi \((g\circ f)(a)=0\): \[ (g\circ f)(a)=g(f(a))= \sqrt{\,f(a)-3\,}=0 \quad\Rightarrow\quad f(a)-3=0. \] Karena \(f(a)=a^2-1\), diperoleh: \[ a^2-1-3=0 \quad\Rightarrow\quad a^2=4 \quad\Rightarrow\quad a=\pm 2. \] Selanjutnya cari \(b\) yang memenuhi \((f\circ g)(b)=0\): \[ (f\circ g)(b)=f(g(b))=(\sqrt{b-3})^2 -1 = b-3-1 = b-4. \] Jadi syaratnya \(b-4=0\), sehingga \[ b=4. \] Nilai-nilai \(a\) yang mungkin adalah \(-2\) dan \(2\), sedangkan \(b=4\). Hitung selisih absolut: \[ |2-4| = 2,\qquad |-2-4| = 6. \] Maksimum selisih adalah \(6\).

C. \(1\)

Penyelesaian langkah demi langkah:
1. Ubah pertidaksamaan menjadi persamaan batas: \[ x - y = 3 \quad \Rightarrow \quad y = x - 3, \] \[ 2x - y = 8 \quad \Rightarrow \quad y = 2x - 8, \] \[ y = 0. \] 2. Tentukan titik potong ketiga garis ini: - Potong \(y = x - 3\) dengan \(y=0\): \[ 0 = x-3 \quad \Rightarrow \quad x=3. \] Titik: \((3,0)\). - Potong \(y = 2x - 8\) dengan \(y=0\): \[ 0 = 2x-8 \quad \Rightarrow \quad x=4. \] Titik: \((4,0)\). - Potong \(y = x - 3\) dengan \(y = 2x - 8\): \[ x-3 = 2x-8 \quad \Rightarrow \quad x=5,\; y=2. \] Titik: \((5,2)\). 3. Daerah penyelesaian adalah segitiga dengan titik-titik sudut: \((3,0), (4,0), (5,2)\). 4. Hitung luas segitiga: Gunakan rumus determinan: \[ L = \tfrac{1}{2}\left| x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)\right|. \] Substitusi: \[ L = \tfrac{1}{2}\left| 3(0-2)+4(2-0)+5(0-0)\right| = \tfrac{1}{2}| -6+8+0| = \tfrac{1}{2}\cdot 2 = 1. \]

B. \(-4\)

Penyelesaian:
1. Garis awal: \[ y = x + 2 \] dengan gradien \(m = 1\).

2. Translasi \(\begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix}\):
Translasi tidak mengubah gradien, hanya menggeser posisi.
- Titik pada garis awal: misalkan \((0,2)\).
Setelah translasi: \((0+1, 2+2) = (1,4)\).
- Titik lain: \((1,3)\).
Setelah translasi: \((2,5)\).
Jadi garis hasil translasi melalui \((1,4)\) dan \((2,5)\).
Gradien masih \(m=1\).
Persamaan garis: \[ y - 4 = 1(x-1) \implies y = x+3. \] 3. Cerminan terhadap sumbu-x: \((x,y) \mapsto (x,-y).\)
Persamaan garis \(y = x+3\) dicerminkan menjadi: \[ -y = x+3 \quad \implies \quad y = -x - 3. \] 4. Persamaan akhir: \[ y = -x - 3 \] Jadi \(a = -1, b = -3\).
Maka: \[ a+b = -1 + (-3) = -4. \] Nilai \(a+b\) adalah \(-4\).

B. \(\tfrac{2}{3}(3-x)\sqrt{x} + C\)

Penyelesaian:
Ubah bentuk integran: \[ \frac{1-x}{\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{x}{\sqrt{x}} = x^{-\tfrac{1}{2}} - x^{\tfrac{1}{2}}. \] Maka integralnya: \[ \int \left(x^{-\tfrac{1}{2}} - x^{\tfrac{1}{2}}\right) dx = \int x^{-\tfrac{1}{2}} dx - \int x^{\tfrac{1}{2}} dx. \] Hitung masing-masing: \[ \int x^{-\tfrac{1}{2}} dx = 2\sqrt{x}, \quad \int x^{\tfrac{1}{2}} dx = \tfrac{2}{3}x^{3/2}. \] Jadi: \[ \int \frac{1-x}{\sqrt{x}} dx = 2\sqrt{x} - \tfrac{2}{3}x^{3/2} + C. \] Faktorkan: \[ = \tfrac{2}{3}\left(3\sqrt{x} - x^{3/2}\right) + C = \tfrac{2}{3}(3-x)\sqrt{x} + C. \] Hasil integral adalah \( \tfrac{2}{3}(3-x)\sqrt{x} + C, \)

B. \(\{x \mid x \neq 2\}\)

Penyelesaian:
Fungsi \(\frac{f}{g}\) didefinisikan jika \(g(x) \neq 0\). Diketahui \(g(x) = 2 - x\). Jadi, kita cari nilai \(x\) yang membuat \(g(x) = 0\): \[ 2 - x = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 2. \] Oleh karena itu, daerah asal fungsi \(\frac{f}{g}\) adalah semua bilangan real kecuali \(x = 2\): \[ \{x \mid x \neq 2\}. \] Jadi jawaban yang benar adalah pilihan B.

A. \( 6\)

Penyelesaian:
Diketahui jumlah suku pertama, suku ke-3, dan suku ke-4 adalah 33: \[ U_1 + U_3 + U_4 = 33. \] Misalkan suku pertama adalah \(a\) dan beda adalah \(d\). Maka: \[ a + (a + 2d) + (a + 3d) = 33 \] \[ 3a + 5d = 33 \quad (1) \] Diketahui suku ke-10 adalah 33: \[ U_{10} = a + 9d = 33 \quad (2) \] Dari persamaan (2), kita dapatkan: \[ a = 33 - 9d \] Substitusi \(a\) ke persamaan (1): \[ 3(33 - 9d) + 5d = 33 \] \[ 99 - 27d + 5d = 33 \] \[ -22d = -66 \] \[ d = 3 \] Substitusi \(d\) ke persamaan untuk \(a\): \[ a = 33 - 9(3) = 33 - 27 = 6 \] Jadi, suku pertama adalah \(6\).

C. \(\dfrac{5}{2}\)

Penyelesaian:
Misalkan tiga suku berurutan barisan geometri adalah \(a, ar, ar^2\).

Syarat hasil kali:
\[ a \cdot ar \cdot ar^2 = (ar)^3 = 27 \implies ar = 3 \]

Syarat jumlah:
\[ a + ar + ar^2 = a + 3 + \frac{9}{a} = 10\tfrac{1}{2} = \tfrac{21}{2} \]

Kalikan \(2a\):
\[ 2a^2 + 6a + 18 = 21a \] \[ 2a^2 - 15a + 18 = 0 \] \[ a = \frac{15 \pm 9}{4} \implies a = 6 \; \text{atau} \; \tfrac{3}{2} \]

Karena \(ar = 3\):
- Jika \(a = 6 \implies r = \tfrac{1}{2}\)
- Jika \(a = \tfrac{3}{2} \implies r = 2\)

Maka jumlah semua rasio:
\[ r_1 + r_2 = \tfrac{1}{2} + 2 = \tfrac{5}{2} \]

C. \(0\)

Penyelesaian:
Diketahui \(f(x) = ax + 2\) dan \(g(x) = 2x + d\).
Hitung \( (f \circ g)(x) \): \[ (f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(2x + d) = a(2x + d) + 2 = 2ax + ad + 2. \] Hitung \( (g \circ f)(x) \): \[ (g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(ax + 2) = 2(ax + 2) + d = 2ax + 4 + d. \] Karena \( (f \circ g)(x) = (g \circ f)(x) \) untuk semua \(x\), maka koefisien \(x\) dan konstanta harus sama: \[ 2ax + ad + 2 = 2ax + 4 + d. \] Dari sini, kita dapatkan dua persamaan: 1. Koefisien \(x\): \(2a = 2a\) (selalu benar) 2. Konstanta: \(ad + 2 = 4 + d\) \[ ad - d = 4 - 2 \] \[ d(a - 1) = 2 \] Jadi, nilai \(d(a-1)\) adalah \(2\).

E. \(1\)

Penyelesaian:
Diketahui transformasi matriks \(A\) memetakan titik \((5,-5)\) ke titik \((-7,1)\). Misalkan matriks transformasi adalah: \[ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}. \] Maka: \[ A \begin{pmatrix} 5 \\ -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ 1 \end{pmatrix}. \] Ini memberikan sistem persamaan: \[ 5a - 5b = -7 \quad (1) \] \[ 5c - 5d = 1 \quad (2) \] Dari (1): \[ a - b = -\frac{7}{5} \quad (3) \] Dari (2): \[ c - d = \frac{1}{5} \quad (4) \] Selanjutnya, kita ingin mengetahui hasil transformasi titik \((-1,1)\): \[ A \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -a + b \\ -c + d \end{pmatrix}. \] Gunakan persamaan (3) dan (4) untuk menyatakan \(b\) dan \(d\) dalam hal \(a\) dan \(c\): \[ b = a + \frac{7}{5} \] \[ d = c - \frac{1}{5} \] Substitusi ke hasil transformasi: \[ \begin{pmatrix} -a + (a + \frac{7}{5}) \\ -c + (c - \frac{1}{5}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{7}{5} \\ -\frac{1}{5} \end{pmatrix}. \] Jadi, titik hasil transformasi adalah: \[ (x,y) = \left(\frac{7}{5}, -\frac{1}{5}\right). \] Hitung \(x + 2y\): \[ x + 2y = \frac{7}{5} + 2\left(-\frac{1}{5}\right) = \frac{7}{5} - \frac{2}{5} = \frac{5}{5} = 1. \] Jadi, nilai \(x + 2y\) adalah \(1\).

D. \(144 \)

Penyelesaian:
Diketahui ada 3 laki-laki (L) dan 3 perempuan (P). Kita ingin menyusun mereka sehingga tidak ada 2 laki-laki yang duduk berdekatan.

1. Susun perempuan terlebih dahulu: \[ P_1 \; P_2 \; P_3 \] Ada \(3! = 6\) cara untuk menyusun 3 perempuan.

2. Tempatkan laki-laki di antara perempuan: Ada 4 tempat yang tersedia (di awal, di antara P1 dan P2, di antara P2 dan P3, di akhir): \[ \_ P_1 \_ P_2 \_ P_3 \_ \] Kita harus memilih 3 dari 4 tempat ini untuk laki-laki, yang dapat dilakukan dalam \(\binom{4}{3} = 4\) cara.

3. Susun laki-laki di tempat yang telah dipilih: Ada \(3! = 6\) cara untuk menyusun 3 laki-laki.

Total susunan berbeda adalah: \[ 6 \times 4 \times 6 = 144. \] Jadi, banyak susunan duduk berbeda yang mungkin adalah \(144\).

B. \(\sqrt{x^2+2x} + C\)

Penyelesaian:
Perhatikan bahwa turunan dari fungsi di bawah akar \(x^2+2x\) adalah: \[ \frac{d}{dx}(x^2+2x) = 2x+2 = 2(x+1). \] Maka integran dapat ditulis ulang sebagai: \[ \frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2(x+1)}{\sqrt{x^2+2x}}. \] Substitusi \(u = x^2+2x \implies du = 2(x+1)dx\).
Sehingga: \[ \int \frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x}} \, dx = \frac{1}{2}\int \frac{du}{\sqrt{u}} = \frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{u} + C = \sqrt{x^2+2x} + C. \] Kesimpulan: Hasil integral adalah \(\sqrt{x^2+2x} + C\), yaitu opsi (B).

Jawaban: \(f(2) = -4\)

Penyelesaian:
Diketahui \( f(x) = ax + b \) dan \[ \lim_{x \to 4} \frac{f(x)}{\sqrt{x}-2} = 8. \] Substitusi \(f(x)\): \[ \lim_{x \to 4} \frac{ax + b}{\sqrt{x}-2}. \] Saat \(x \to 4\), penyebut \(\sqrt{x}-2 \to 0\). Agar limit ada, pembilang juga harus nol: \[ 4a + b = 0 \quad \Rightarrow \quad b = -4a. \tag{1} \] Gunakan aturan L'Hôpital: \[ \lim_{x \to 4} \frac{f(x)}{\sqrt{x}-2} = \lim_{x \to 4} \frac{f'(x)}{\tfrac{1}{2\sqrt{x}}}. \] Karena \(f'(x)=a\), maka: \[ = \lim_{x \to 4} \frac{a}{1/(2\sqrt{x})} = \lim_{x \to 4} 2a\sqrt{x} = 4a. \] Diketahui limit = 8, maka: \[ 4a = 8 \quad \Rightarrow \quad a = 2. \] Substitusi ke (1): \[ b = -4a = -8. \] Sehingga: \[ f(x) = 2x - 8. \] Hitung nilai di \(x=2\): \[ f(2) = 2(2) - 8 = -4. \]