Matematika Dasar UTBK/SBMPTN Paket 6

E. \(bx + ay = a\)

Pembahasan:
Dari \(\dfrac{bx}{1-y}=a\) diperoleh: \[ bx = a(1 - y) \Rightarrow bx + ay = a. \] Karena garis \(g\) sejajar, maka bentuknya sama. Substitusi titik \((0,1)\) memenuhi persamaan, jadi persamaannya adalah \[ bx + ay = a. \]

Jawaban: E. \(-1\)

Pembahasan:
Istilah “titik terdekat” dengan suatu garis berarti titik tersebut memiliki jarak paling kecil terhadap garis. Secara geometris, titik terdekat dari sebuah titik ke suatu garis adalah titik potong antara garis tersebut dengan garis lain yang tegak lurus terhadapnya dan melalui titik yang dimaksud.

Garis yang diberikan adalah: \[ 3x - 2y - 6 = 0 \] Kita uji apakah titik \((4,3)\) terletak pada garis ini: \[ 3(4) - 2(3) - 6 = 12 - 6 - 6 = 0 \] Ternyata hasilnya \(0\), artinya titik \((4,3)\) memang terletak pada garis tersebut.

Karena titik \((4,3)\) sudah berada di garis \(3x - 2y - 6 = 0\), maka secara logika geometris, titik inilah yang paling dekat dengan dirinya sendiri (jarak = 0).

Dengan demikian, titik terdekat \((a, b)\) adalah \((4, 3)\).
Maka diperoleh: \[ b - a = 3 - 4 = -1 \]

A. \(2x - 3y - 3 = 0\)

Pembahasan:
Gradien garis \(3x + 2y + 7 = 0\) adalah \(m_1 = -\frac{3}{2}\). Maka gradien garis tegak lurus \(m_2 = \frac{2}{3}\).
Karena melalui titik \((3,1)\): \[ y - 1 = \frac{2}{a}(x - 3) \] maka \[y - 1 = \frac{2}{3}(x - 3)\] \[3y - 3 = 2x - 6\] \[2x - 3y - 3 = 0\]

E. \(6x + 4y - 29 = 0\)

Pembahasan:
Gradien \(PQ\): \[ m_{PQ} = \frac{8 - 2}{6 - (-3)} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}. \] Maka gradien tegak lurus \(m = -\frac{3}{2}\).
Titik tengah \(R\left(\frac{-3+6}{2}, \frac{2+8}{2}\right) = (1.5, 5)\).
Persamaan garis: \[ y - 5 = -\frac{3}{2}(x - 1.5) \] \[ 2y - 10 = -3x + 4.5 \Rightarrow 3x + 2y - 14.5 = 0 \] Dikalikan 2: \[ 6x + 4y - 29 = 0 \]

B. \(\dfrac{ad - bc}{a - c}\)

Pembahasan:
Dari \(ax - b = cx + d\): \[ (a - c)x = b + d \Rightarrow x = \frac{b + d}{a - c}. \] Substitusi ke \(y = ax - b\): \[ y = a\left(\frac{b + d}{a - c}\right) - b = \frac{a(b + d) - b(a - c)}{a - c} = \frac{ad - bc}{a - c}. \]

D. \((1, 6)\).

Pembahasan:
Persamaan garis melalui \(A(2,8)\) dan \(B(-1,2)\): gradien \[ m_{AB}=\frac{8-2}{2-(-1)}=\frac{6}{3}=2. \] Bentuk garis: \(y-8=2(x-2)\) → \(2x - y +4 = 0\).
Persamaan garis melalui \(C(0,9)\) dan \(D(3,0)\): gradien \[ m_{CD}=\frac{0-9}{3-0}=-3. \] Bentuk garis: \(y-9=-3(x-0)\) → \(3x + y -9 = 0\).
Selesaikan sistem \[ \begin{cases} 2x - y + 4 = 0\\ 3x + y - 9 = 0 \end{cases} \] Menjumlahkan kedua persamaan: \(5x -5 = 0 \Rightarrow x=1\). Substitusi ke \(3x+y-9=0\) → \(3(1)+y-9=0\) → \(y=6\).
Jadi titik potong \((1,6)\).

D. \(7\).

Pembahasan:
Jarak titik \(P(2,3)\) ke garis \(4x-3y+26=0\) dihitung dengan rumus: \[ d = \frac{|4\cdot2 - 3\cdot3 + 26|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|8 -9 +26|}{5} = \frac{25}{5} = 5. \] Jarak antara \((5,m)\) dan \(P(2,3)\) adalah \[ \sqrt{(5-2)^2 + (m-3)^2} = \sqrt{9 + (m-3)^2} = 5 \] sehingga \[ 9 + (m-3)^2 = 25 \Rightarrow (m-3)^2 = 16 \Rightarrow m-3 = \pm 4. \] Jadi \(m = 7\) atau \(m = -1\). Dari pilihan yang tersedia hanya \(7\) yang ada.

C. \((-4, 10)\).

Pembahasan:
Garis dengan gradien \(-1\) yang melalui \((1,5)\) memiliki persamaan: \[ y - 5 = -1(x - 1) \Rightarrow y = -x + 6. \] Titik potong dengan parabola \(y = x^2 + 2x + 2\) diperoleh dari: \[ x^2 + 2x + 2 = -x + 6 \Rightarrow x^2 + 3x - 4 = 0. \] Faktorkan: \((x+4)(x-1)=0\) → \(x=-4\) atau \(x=1\). Karena salah satu titik sudah \((1,5)\), titik lainnya adalah \(x=-4\). Nilai \(y\) pada parabola untuk \(x=-4\): \[ y = (-4)^2 + 2(-4) + 2 = 16 - 8 + 2 = 10. \] Jadi titik lainnya \((-4,10)\).

C. \((0, 0)\).

Pembahasan:
Titik potong kedua garis pertama diperoleh dari sistem: \[ \begin{cases} x + 2y - 6 = 0\\ 3x + 2y - 2 = 0 \end{cases} \] Kurangkan kedua persamaan: \[ (3x + 2y - 2) - (x + 2y - 6) = 0 \] \[2x + 4 = 0 \Rightarrow x = -2. \] Substitusi ke \(x + 2y - 6 = 0\): \[ -2 + 2y - 6 = 0 \Rightarrow 2y = 8 \Rightarrow y = 4. \] Jadi titik potong \((-2, 4)\).

Garis yang tegak lurus terhadap \(x - 2y = 5\) memiliki gradien \[ m_1 = \tfrac{1}{2} \] (karena \(y = \tfrac{1}{2}x - \tfrac{5}{2}\)), sehingga gradien garis tegak lurusnya adalah \[ m = -2. \] Persamaan garis melalui \((-2, 4)\): \[ y - 4 = -2(x + 2) \Rightarrow y - 4 = -2x - 4 \Rightarrow y = -2x. \] Untuk memotong sumbu-\(x\), set \(y = 0\): \[ 0 = -2x \Rightarrow x = 0. \] Jadi titik potong sumbu-\(x\) adalah \((0, 0)\).

C. \(x - 2y + 2 = 0\)

Pembahasan:
Pertama cari gradien garis \(l\) yang melalui \((1,2)\) dan \((3,-2)\): \[ m_l = \frac{-2 - 2}{3 - 1} = \frac{-4}{2} = -2. \] Gradien garis yang tegak lurus terhadap \(l\) adalah kebalikan negatifnya: \[ m_m = -\frac{1}{m_l} = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}. \] Gunakan rumus persamaan garis melalui titik \((0,1)\) dengan gradien \(\tfrac{1}{2}\): \[ y - 1 = \frac{1}{2}(x - 0) \Rightarrow y = \frac{1}{2}x + 1. \] Ubah ke bentuk standar (koefisien bilangan bulat): \[ y - \frac{1}{2}x - 1 = 0 \Rightarrow -\tfrac{1}{2}x + y - 1 = 0. \] Kalikan kedua sisi dengan \(-2\) untuk mendapatkan bilangan bulat positif pada koefisien \(x\): \[ x - 2y + 2 = 0. \] Jadi persamaan yang benar adalah \(x - 2y + 2 = 0\).

C. \(5x-21y=-11\).

Pembahasan:
Dari \[ 14y = 9x - 4 \Rightarrow 9x - 14y - 4 = 0. \] Titik potong dengan \[ 4x + 7y - 15 = 0 \] diperoleh dengan menyelesaikan sistem: \[ \begin{cases} 4x + 7y - 15 = 0\\ 9x - 14y - 4 = 0 \end{cases} \] Kalikan persamaan pertama dengan 2: \[ 8x + 14y - 30 = 0. \] Jumlahkan dengan persamaan kedua: \[ 17x - 34 = 0 \Rightarrow x = 2. \] Substitusi ke \[ 4x + 7y - 15 = 0: \] \[ 8 + 7y - 15 = 0 \Rightarrow 7y = 7 \Rightarrow y = 1. \] Jadi titik potong adalah \((2, 1)\).

Garis yang tegak lurus pada \[ 21x + 5y = 3 \] memiliki gradien \[ m = \tfrac{5}{21} \] (karena gradien garis yang diberikan adalah \(-\tfrac{21}{5}\)).
Persamaan garis melalui \((2, 1)\): \[ y - 1 = \frac{5}{21}(x - 2). \] Kalikan dengan 21: \[ 21y - 21 = 5x - 10 \Rightarrow 5x - 21y + 11 = 0. \] Dengan demikian, bentuk pilihan yang sesuai adalah: \[ 5x - 21y = -11. \]

A. \(-7\).

Pembahasan:
Titik potong kedua garis pertama diperoleh dari sistem: \[ \begin{cases} 2x + 2y - 4 = 0\\ x - 2y - 5 = 0 \end{cases} \] Dari persamaan kedua diperoleh: \[ x = 2y + 5. \] Substitusi ke persamaan pertama: \[ 2(2y + 5) + 2y - 4 = 0 \] \[ 4y + 10 + 2y - 4 = 0 \] \[ 6y + 6 = 0 \Rightarrow y = -1. \] Maka: \[ x = 2(-1) + 5 = 3. \] Jadi titik potong adalah \((3, -1)\).

Garis \[ 12x + 6y - 3 = 0 \] memiliki gradien \[ m = -2 \] sehingga garis yang tegak lurus mempunyai gradien \[ m = \tfrac{1}{2}. \] Persamaan garis melalui \((3, -1)\): \[ y + 1 = \tfrac{1}{2}(x - 3) \] \[ 2y + 2 = x - 3 \] \[ x - 2y - 5 = 0. \] Di sini \(b = -2\) dan \(c = -5\), sehingga: \[ b + c = -2 + (-5) = -7. \]

E. \(2\).

Pembahasan:
Substitusi titik \((1, -1)\) ke persamaan pertama: \[ (a + b)\cdot 1 + 2b \cdot (-1) = 2 \] \[a + b - 2b = 2 \] \[a - b = 2. \tag{1} \] Substitusi ke persamaan kedua: \[ a \cdot 1 - (b - 3a) \cdot (-1) = -4 \] \[a + b - 3a = -4 \] \[-2a + b = -4. \tag{2} \] Jumlahkan (1) dan (2): \[ (a - b) + (-2a + b) = 2 + (-4) \] \[-a = -2 \Rightarrow a = 2. \] Dari (1): \[ 2 - b = 2 \Rightarrow b = 0. \] Jadi: \[ a + b = 2. \]

B. \(x - y = -3\).

Pembahasan:
Gradien \(AC\): \[ m_{AC} = \frac{-4 - 2}{5 - (-1)} = \frac{-6}{6} = -1. \] Maka garis tinggi dari \(B\) memiliki gradien yang tegak lurus, yaitu \(m = 1\). Persamaan garis melalui \(B(2,5)\): \[ y - 5 = 1(x - 2) \Rightarrow y = x + 3. \] Bentuk standar: \(x - y = -3\).

A. \( (-1,2) \).

Pembahasan:
Garis \(AC\) memiliki gradien \(-1\) → persamaan \(AC\): \(y = -x + 1\) (melalui \(A(-1,2)\)). Garis tinggi melalui \(B\) memiliki gradien 1 dan persamaan \(y = x + 3\). Potongannya: \[ x + 3 = -x + 1 \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x = -1, \; y = 2. \] Jadi titik potong adalah \(A(-1,2)\).