Konsep Dasar Cara Merasionalkan Akar

Oleh: Andi Ardiansyah Nasir Terakhir diperbarui: 10 Juni 2025

Konsep Merasionalkan Akar

Ilustrasi Merasionalkan Akar

Gambar 1: Proses merasionalkan penyebut pecahan

Merasionalkan akar adalah teknik penting dalam aljabar yang digunakan untuk menghilangkan bentuk akar dari penyebut suatu pecahan. Proses ini sangat berguna untuk:

  • Menyederhanakan bentuk pecahan - Mengubah bentuk yang kompleks menjadi lebih sederhana
  • Mempermudah perhitungan lebih lanjut - Operasi matematika menjadi lebih mudah tanpa akar di penyebut
  • Memberikan bentuk standar dalam penyajian hasil matematika - Format yang diterima secara umum dalam matematika
  • Membantu dalam operasi penjumlahan dan pengurangan pecahan yang mengandung akar - Memungkinkan penyebut yang sama untuk operasi pecahan

Definisi Dasar

Merasionalkan penyebut berarti mengubah bentuk pecahan yang memiliki akar pada penyebutnya menjadi bentuk ekuivalen dimana penyebutnya merupakan bilangan rasional (bukan akar).

Bentuk umum:

\[ \frac{a}{\sqrt{b}} \quad \text{dirasionalkan menjadi} \quad \frac{a\sqrt{b}}{b} \]
\[ \text{Dengan syarat: } b > 0 \]

Contoh Dasar:

\[ \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5} \]

\[ \frac{2}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{4 - 3} = 4 - 2\sqrt{3} \]

Teknik Merasionalkan Penyebut Akar

1. Kasus Sederhana: Penyebut Berupa √a

Untuk pecahan dengan bentuk 1/√a, kita kalikan pembilang dan penyebut dengan √a:

\[ \frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{1 \times \sqrt{a}}{\sqrt{a} \times \sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a} \]

Contoh 1:

Rasionalkan \( \frac{3}{\sqrt{5}} \):

Langkah 1: Identifikasi bentuk akar di penyebut → √5

Langkah 2: Kalikan pembilang dan penyebut dengan √5

Langkah 3: \( \frac{3}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5} \)

Hasil: \( \frac{3\sqrt{5}}{5} \)

2. Kasus Intermediate: Penyebut Berupa a±√b

Untuk bentuk 1/(a±√b), kita gunakan sekawan (conjugate) dari penyebut:

\[ \frac{1}{a + \sqrt{b}} \times \frac{a - \sqrt{b}}{a - \sqrt{b}} = \frac{a - \sqrt{b}}{a^2 - b} \]
\[ \frac{1}{a - \sqrt{b}} \times \frac{a + \sqrt{b}}{a + \sqrt{b}} = \frac{a + \sqrt{b}}{a^2 - b} \]

Langkah-langkah detail:

  1. Identifikasi sekawan dari penyebut:
    • Sekawan dari (a+√b) adalah (a-√b)
    • Sekawan dari (a-√b) adalah (a+√b)
  2. Kalikan pembilang dan penyebut dengan sekawan penyebut
  3. Hitung hasil perkalian penyebut menggunakan rumus selisih kuadrat: (a+b)(a-b) = a²-b²
  4. Sederhanakan hasil akhir

Contoh 2:

Rasionalkan \( \frac{2}{3 - \sqrt{7}} \):

Langkah 1: Identifikasi sekawan → 3 + √7

Langkah 2: Kalikan pembilang dan penyebut dengan sekawan:

\( \frac{2}{3 - \sqrt{7}} \times \frac{3 + \sqrt{7}}{3 + \sqrt{7}} \)

Langkah 3: Hitung pembilang: 2 × (3 + √7) = 6 + 2√7

Langkah 4: Hitung penyebut: (3)² - (√7)² = 9 - 7 = 2

Langkah 5: Gabungkan hasil: \( \frac{6 + 2\sqrt{7}}{2} = 3 + \sqrt{7} \)

Hasil: \( 3 + \sqrt{7} \)

3. Kasus Kompleks: Penyebut Berupa √a±√b

Untuk bentuk 1/(√a±√b), kita juga gunakan sekawan:

\[ \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \times \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b} \]
\[ \frac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} \times \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{a - b} \]

Contoh 3:

Rasionalkan \( \frac{5}{\sqrt{6} + \sqrt{3}} \):

Langkah 1: Identifikasi sekawan → √6 - √3

Langkah 2: Kalikan pembilang dan penyebut dengan sekawan:

\( \frac{5}{\sqrt{6} + \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{\sqrt{6} - \sqrt{3}} \)

Langkah 3: Hitung pembilang: 5 × (√6 - √3) = 5√6 - 5√3

Langkah 4: Hitung penyebut: (√6)² - (√3)² = 6 - 3 = 3

Langkah 5: Gabungkan hasil: \( \frac{5\sqrt{6} - 5\sqrt{3}}{3} \)

Hasil: \( \frac{5\sqrt{6} - 5\sqrt{3}}{3} \) atau \( \frac{5}{3}(\sqrt{6} - \sqrt{3}) \)

4. Kasus Khusus: Penyebut Berlapis

Untuk penyebut kompleks seperti 1/(a±√(b±√c)), lakukan rasionalisasi bertahap:

Contoh 4:

Rasionalkan \( \frac{1}{2 + \sqrt{3 + \sqrt{5}}} \):

Tahap 1: Rasionalkan bagian paling dalam (√3 + √5) terlebih dahulu

Tahap 2: Setelah itu, rasionalkan bentuk luarnya (2 + √hasil_tahap_1)

Proses lengkap:

1. Misal √(3 + √5) = √A, maka A = 3 + √5

2. Rasionalkan 1/(2 + √A) dengan sekawan (2 - √A)

3. Hasil sementara: (2 - √A)/(4 - A) = (2 - √(3 + √5))/(1 - √5)

4. Rasionalkan lagi penyebut baru (1 - √5) dengan sekawan (1 + √5)

5. Hasil akhir: \( \frac{(2 - \sqrt{3 + \sqrt{5}})(1 + \sqrt{5})}{-4} \)

Tips Penting Merasionalkan Akar:

  1. Selalu identifikasi jenis bentuk akar di penyebut terlebih dahulu
  2. Gunakan sekawan yang tepat sesuai bentuk penyebut
  3. Perhatikan rumus selisih kuadrat: (x+y)(x-y) = x²-y²
  4. Untuk penyebut kompleks, lakukan rasionalisasi bertahap dari dalam ke luar
  5. Periksa kembali hasil akhir untuk memastikan tidak ada lagi akar di penyebut