Soal PKN STAN Paket 3

C. \( 103 \).

Penjelasan:
Kita mulai dengan menyederhanakan ekspresi yang diberikan: \[\frac{56 \times 56 - 47 \times 47}{56 \times 47 - 47 \times 56 + 56 - 47}\] Perhatikan bahwa \(56 \times 47 - 47 \times 56 = 0\), sehingga penyebutnya menjadi: \[56 - 47 = 9\] Sekarang kita fokus pada pembilang: \[56 \times 56 - 47 \times 47\] Kita dapat menggunakan identitas aljabar \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\) untuk menyederhanakan pembilang: \[(56 - 47)(56 + 47) = 9 \times 103 \] Sekarang kita substitusi kembali ke dalam ekspresi awal: \[\frac{9 \times 103}{9} = 103\] Jadi, jawaban yang benar adalah \(103\).

C. 1980

Penjelasan (cara cepat):
Bentuk umum suku adalah \(k(k+1)(k+2)\). Identitas: \(k(k+1)(k+2) = k^3 + 3k^2 + 2k\). Jadi jumlah: \[ \sum_{k=1}^8 (k^3 + 3k^2 + 2k) = \sum k^3 + 3\sum k^2 + 2\sum k \] dengan hasil: \(\sum k^3 = 1296\), \(\sum k^2 = 204\), \(\sum k = 36\). Maka total = \(1296 + 612 + 72 = 1980\). Jadi jawabannya adalah 1980.

D. 2120,125

Penjelasan:
\(p = \sqrt{7225} = 85\).
\(q = (25+20)^2 = 45^2 = 2025\).
\(r = 0,5^3 = 0,125\).
Jadi \(p+q+r = 85 + 2025 + 0,125 = 2120,125\).
Jawaban yang benar adalah 2120,125.

D. \(31,5\)

Penjelasan (cara cepat):
Perhatikan bahwa \(28p + 42q = 14(2p + 3q)\).
Diketahui \(2p + 3q = \tfrac{9}{4}\).
Maka \(28p + 42q = 14 \times \tfrac{9}{4} = \tfrac{126}{4} = 31,5\).
Jadi jawabannya adalah 31,5.

B. \(9\)

Penjelasan:
Dari persamaan kedua: \(\tfrac{1}{2}x = \tfrac{4}{y} \implies x = \tfrac{8}{y}\).
Substitusi ke persamaan pertama: \((\tfrac{8}{y})^2 y^3 + 2 = 130\).
Hasilnya: \(\tfrac{64}{y^2} \cdot y^3 + 2 = 130 \implies 64y + 2 = 130 \implies y = 2\).
Maka \(x = \tfrac{8}{2} = 4\).

Untuk persamaan ketiga: \(\frac{z^3 - 1}{2} - 26,5 = -\tfrac{z^3}{2}\).
Kalikan 2: \(z^3 - 1 - 53 = -z^3 \implies 2z^3 = 54 \implies z^3 = 27 \implies z = 3\).

Jadi \(x + y + z = 4 + 2 + 3 = 9\).
Jawabannya adalah 9.

B. \(\tfrac{x}{2y}\)

Penjelasan:
Pertama, \(\sqrt[3]{(x^2 y)^3} = x^2 y\).
Lalu, \(\sqrt{(x y^2)^2} = |x y^2| = x y^2\) (anggap \(x,y > 0\)).

Jadi bentuknya menjadi: \[\frac{x^2 y}{2 \cdot (x y^2)} = \frac{x^2 y}{2xy^2} = \frac{x}{2y}.\]

Jadi jawabannya adalah \(\tfrac{x}{2y}\).

E. Hubungan \(x\) dan \(y\) tidak dapat ditentukan

Penjelasan (trik cepat):
Uji beberapa nilai \(p\) untuk membandingkan \(x\) dan \(y\):

- Jika \(p = 0\):
\(x = 3(0)^2 - 4 = -4\), \(y = 2(0)^3 - 4 = -4\) → \(x = y\).

- Jika \(p = 1\):
\(x = 3(1)^2 - 4 = -1\), \(y = 2(1)^3 - 4 = -2\) → \(x > y\).

- Jika \(p = 2\):
\(x = 3(4) - 4 = 8\), \(y = 2(8) - 4 = 12\) → \(x < y\).

- Jika \(p = -1\):
\(x = 3(1) - 4 = -1\), \(y = 2(-1) - 4 = -6\) → \(x > y\).

Dari beberapa contoh, kadang \(x > y\), kadang \(x < y\), bahkan ada yang \(x = y\). Jadi tidak ada hubungan yang pasti.

Periksa opsi khusus:
- C. \(2x = 3y\):
\(2x = 6p^2 - 8\), sedangkan \(3y = 6p^3 - 12\).
Jelas tidak selalu sama untuk semua \(p\), jadi salah.

- D. \(3x - 2y\):
\(3x - 2y = -4p^3 + 9p^2 - 4\).
Nilainya bergantung pada \(p\), bisa positif atau negatif.
Jadi tidak bisa dijadikan hubungan pasti.

Maka jawaban yang benar adalah Hubungan \(x\) dan \(y\) tidak dapat ditentukan.

A. \(P > Q\)

Penjelasan:
Luas belah ketupat \(P\) dihitung dengan rumus \(\tfrac{1}{2} \times d_1 \times d_2\).
\[P = \tfrac{1}{2} \times 24 \times 32 = 384 \, \text{cm}^2\]
Luas segitiga \(Q\) dihitung dengan rumus Heron.
Setengah keliling: \[ s = \tfrac{16 + 20 + 12}{2} = 24 \]
Maka: \[ Q = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{24 \times (24-16) \times (24-20) \times (24-12)} \]
\[ Q = \sqrt{24 \times 8 \times 4 \times 12} = \sqrt{9216} = 96 \, \text{cm}^2 \]
Jadi \(P = 384\) dan \(Q = 96\). Jelas bahwa \(P > Q\).
- A. \(P > Q\) ✅ benar.
- B. \(P < Q\) ❌ salah.
- C. \(P = Q\) ❌ salah.
- D. \(P = \tfrac{3}{4}Q\) ❌ salah, karena \(384 \neq \tfrac{3}{4} \times 96\).
- E. Hubungan tidak dapat ditentukan ❌ salah, karena jelas \(P\) dan \(Q\) bisa dihitung.
Maka jawaban yang benar adalah \(P > Q\).

C. \(\dfrac{y}{x} = 9\)

Penjelasan:
Dari \(\tfrac{1}{x} = 6\) diperoleh \(x = \tfrac{1}{6}\).
Dari \(\tfrac{1}{y} = \tfrac{2}{3}\) diperoleh \(y = \tfrac{3}{2}\).
Hitung perbandingan:
\[\dfrac{y}{x} = \dfrac{\tfrac{3}{2}}{\tfrac{1}{6}} = \dfrac{3}{2} \times 6 = 9\] - A. \(x + y = \tfrac{1}{6} + \tfrac{3}{2} = \tfrac{1}{6} + \tfrac{9}{6} = \tfrac{10}{6} = \tfrac{5}{3} = 1\dfrac{2}{3}\), bukan \(3\dfrac{1}{3}\) → salah.
- B. \(x = y\)? Jelas tidak, karena \(x = \tfrac{1}{6}\) dan \(y = \tfrac{3}{2}\). → salah.
- C. \(\tfrac{y}{x} = 9\) → benar.
- D. \(x \cdot y = \tfrac{1}{6} \times \tfrac{3}{2} = \tfrac{3}{12} = \tfrac{1}{4}\), bukan 1 → salah.
- E. Hubungan jelas bisa ditentukan, jadi salah.
Maka jawaban yang tepat adalah \(\tfrac{y}{x} = 9\).

E. Hubungan \(x\) dan \(y\) tidak dapat ditentukan

Penjelasan singkat:
Diketahui: \[ x = a^3 + a^2 + a + 2, \quad y = a^4 + 3a^3 + 3a^2 + 3a + 2 \] Maka: \[ y - x = a^4 + 2a^3 + 2a^2 + 2a = a(a^3 + 2a^2 + 2a + 2). \] Uji beberapa nilai \(a\):
- \(a = 0 \Rightarrow x = y\).
- \(a = 1 \Rightarrow y - x = 7 > 0 \Rightarrow y > x\).
- \(a = -1 \Rightarrow y - x = -1 < 0 \Rightarrow y < x\).
- \(a = -2 \Rightarrow y - x = 4 > 0 \Rightarrow y > x\).

Kesimpulan: kadang \(x = y\), kadang \(x < y\), kadang \(x > y\).
Jadi hubungan \(x\) dan \(y\) tidak dapat ditentukan secara umum.

A. \(p > q\)

Penjelasan (cara cepat):
- Jumlah bilangan ganjil pertama sampai \(19\) (ada 10 suku): \[p = 1+3+5+...+19 = 10^2 = 100\] - Jumlah bilangan genap pertama sampai \(18\) (ada 9 suku): \[q = 2+4+6+...+18 = 9 \times 10 = 90\] Jadi \(p = 100\) dan \(q = 90\).

Kesimpulan: \(p > q\).

A. \(x > y\)

Penjelasan singkat:
Diketahui: \[ x = \sqrt{\frac{a^2 - b^2}{a+b}} = \sqrt{a-b}, \quad y = \sqrt{a} - \sqrt{b}. \] Uji dengan beberapa pasangan \(a, b\):
- Jika \(a=9, b=4\): \(x = \sqrt{5} \approx 2,24\), \(y = 1\). Maka \(x > y\).
- Jika \(a=4, b=1\): \(x = \sqrt{3} \approx 1,73\), \(y = 1\). Maka \(x > y\).
- Jika \(a=1.21, b=1\): \(x = \sqrt{0.21} \approx 0.46\), \(y = 0.1\). Maka \(x > y\).
- Jika \(a\) sangat dekat dengan \(b\), contoh \(a=2, b=1.99\): \(x = \sqrt{0.01} = 0.1\), sedangkan \(y \approx 1.414 - 1.410 = 0.004\). Tetap \(x > y\).
Dari uji coba terlihat bahwa untuk semua contoh dengan \(a > b > 0\), selalu berlaku \(x > y\).
Jadi jawaban yang tepat adalah: \(x > y\).

A. \(x > y\)

Penjelasan:
Ruang sampel pelemparan 2 dadu = \(36\).
- Jumlah 9 dapat terjadi dengan pasangan: \((3,6),(4,5),(5,4),(6,3)\) → ada 4 cara.
- Jumlah 10 dapat terjadi dengan pasangan: \((4,6),(5,5),(6,4)\) → ada 3 cara.
Jadi total kejadian = \(4+3 = 7\).
Maka peluang \(x =\) \(\dfrac{7}{36}\).

Selanjutnya, \(y = \dfrac{1}{9} \times 1\dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{9} \times \dfrac{5}{4} = \dfrac{5}{36}\).

Bandingkan: \(\dfrac{7}{36} > \dfrac{5}{36}\).
Jadi \(x > y\).

Jawaban: \(x > y\).

C. \(x > y\)

Penjelasan:
Misalkan harga awal = 100.
- Diskon pertama 40% → harga menjadi 60.
- Diskon kedua 15% dari 60 = 9, sehingga harga akhir = 51.
Jadi total diskon = 100 - 51 = 49%. Maka \(x = 49\%\).

Sementara itu, \(y = \dfrac{9}{20} \times 100\% = 45\%\).

Karena \(49\% > 45\%\), maka \(x > y\).

A. \(A < B\)

Penjelasan:
- Hitung \(A\):
\(A = \dfrac{66,67}{100} \times 912 \approx \dfrac{2}{3} \times 912 = 608\).

- Hitung \(B\):
\(\sqrt{1156} = 34\), dan \(24^2 = 576\).
Jadi \(B = 34 + 576 = 610\).

Maka \(A = 608\) dan \(B = 610\).
Karena \(608 < 610\), maka \(A < B\).