Soal PKN STAN Paket 4

D. \( 15 \).

Penjelasan:
Diketahui \(10\%\) dari suatu bilangan sama dengan \(20\%\) dari bilangan lainnya. Misalkan bilangan pertama adalah \(x\) dan bilangan kedua adalah \(y\). Maka, kita dapat menulis persamaan berikut: \[ 0,1x = 0,2y \] Dari persamaan ini, kita dapat menyederhanakannya menjadi: \[ x = 2y \] Selanjutnya, kita juga diberikan informasi bahwa jumlah kedua bilangan tersebut adalah \(45\): \[ x + y = 45 \] Substitusi \(x\) dari persamaan pertama ke dalam persamaan kedua: \[ 2y + y = 45 \] \[ 3y = 45 \] \[ y = 15 \] Dengan nilai \(y\), kita dapat mencari nilai \(x\): \[ x = 2y = 2 \times 15 = 30 \] Sekarang kita memiliki kedua bilangan: \(x = 30\) dan \(y = 15\). Selisih kedua bilangan tersebut adalah: \[ x - y = 30 - 15 = 15 \] Jadi, selisih kedua bilangan tersebut adalah \(15\).

D. \(12\)

Penjelasan:
Diketahui hasil kali tiga buah bilangan positif adalah \(35\) dan selisih bilangan terbesar dan terkecil adalah \(6\). Misalkan ketiga bilangan tersebut adalah \(a\), \(b\), dan \(c\) dengan \(a \leq b \leq c\). Maka, kita memiliki dua persamaan: \[ abc = 35 \] \[ c - a = 6 \] Dari persamaan kedua, kita dapat mengekspresikan \(c\) dalam hal \(a\): \[ c = a + 6 \] Substitusi \(c\) ke dalam persamaan pertama: \[ a \cdot b \cdot (a + 6) = 35 \] \[ ab(a + 6) = 35 \] Karena \(35\) adalah hasil kali dari tiga bilangan positif, kita dapat mencari faktor-faktor dari \(35\): \(1, 5, 7, 35\). Kita akan mencoba kombinasi faktor-faktor ini untuk menemukan nilai \(a\), \(b\), dan \(c\) yang memenuhi kedua persamaan. Misalkan kita coba \(a = 1\): \[ b(1 + 6) = 35 \] \[ 7b = 35 \] \[ b = 5 \] Dengan \(a = 1\) dan \(b = 5\), kita dapat menghitung \(c\): \[ c = a + 6 = 1 + 6 = 7 \] Jadi, ketiga bilangan tersebut adalah \(1\), \(5\), dan \(7\). Hasil penjumlahan dua bilangan terbesarnya adalah: \[ b + c = 5 + 7 = 12 \] Jadi, hasil penjumlahan dua bilangan terbesarnya adalah \(12\).

C. \(1500\)

Penjelasan:
Misalkan jumlah peserta seluruhnya = \(N\).
- Lulus administrasi = \(90\%\) dari \(N = 0.9N\).
- Yang dipanggil tes wawancara = setengah dari itu = \(0.45N\).
- Dari peserta wawancara, \(\tfrac{1}{5}\) dinyatakan lulus seleksi beasiswa = 135 orang.

Maka: \[ \tfrac{1}{5} \times 0.45N = 135 \] \[ 0.09N = 135 \] \[ N = \frac{135}{0.09} = 1500 \] Jadi jumlah peserta seluruhnya adalah 1500

E. \(27\)

Penjelasan (cara cepat):
Misalkan jumlah rumah tipe \(36\) adalah \(x\). Maka, jumlah rumah tipe \(21\) adalah \(\dfrac{1}{3}x\), jumlah rumah tipe \(45\) adalah \(x\), dan jumlah rumah tipe \(56\) adalah \(3x\). Total rumah adalah: \[ \dfrac{1}{3}x + x + x + 3x = 48 \] \[ \dfrac{1}{3}x + 5x = 48 \] \[ \dfrac{16}{3}x = 48 \] \[ x = 9 \] Jadi, jumlah rumah tipe \(56\) adalah: \[ 3x = 3 \times 9 = 27 \] Jadi, banyak rumah yang ditawarkan dengan tipe \(56\) adalah \(27\).

B. \(10\)

Penjelasan:
Diketahui Joni bersepeda ke sekolah dengan kecepatan \(20\) km/jam dan ibunya berangkat \(10\) menit kemudian dengan kecepatan \(30\) km/jam. Kita perlu mencari jarak yang ditempuh oleh ibu Joni untuk menyusul Joni.
Pertama, kita konversi \(10\) menit ke dalam jam: \[ 10 \text{ menit} = \dfrac{10}{60} \text{ jam} = \dfrac{1}{6} \text{ jam} \] Dalam waktu \(10\) menit, Joni telah menempuh jarak: \[ \text{Jarak Joni} = \text{Kecepatan Joni} \times \text{Waktu} = 20 \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{20}{6} = \dfrac{10}{3} \text{ km} \] Setelah \(10\) menit, ibu Joni mulai berangkat. Sekarang, kita perlu mencari waktu yang dibutuhkan oleh ibu Joni untuk menyusul Joni. Misalkan waktu yang dibutuhkan oleh ibu Joni untuk menyusul Joni adalah \(t\) jam. Dalam waktu \(t\) jam, jarak yang ditempuh oleh ibu Joni adalah: \[ \text{Jarak Ibu Joni} = \text{Kecepatan Ibu Joni} \times \text{Waktu} = 30t \] Jarak yang ditempuh oleh Joni dalam waktu \(t\) jam adalah: \[ \text{Jarak Joni} = \text{Kecepatan Joni} \times \text{Waktu} = 20t + \dfrac{10}{3} \] Karena ibu Joni menyusul Joni, jarak yang ditempuh oleh ibu Joni harus sama dengan jarak yang ditempuh oleh Joni: \[ 30t = 20t + \dfrac{10}{3} \] \[ 30t - 20t = \dfrac{10}{3} \] \[ 10t = \dfrac{10}{3} \] \[ t = \dfrac{1}{3} \text{ jam} \] Sekarang kita dapat menghitung jarak yang ditempuh oleh ibu Joni untuk menyusul Joni: \[ \text{Jarak Ibu Joni} = 30t = 30 \times \dfrac{1}{3} = 10 \text{ km} \] Jadi, ibu Joni berhasil menyusul Joni setelah menempuh jarak \(10\) km.

\(120\)

Penjelasan:
Jika \(\dfrac{1}{6}\) dari bilangan pertama ditambahkan pada bilangan kedua maka kedua bilangan menjadi sama besar. Misalkan bilangan pertama adalah \(x\) dan bilangan kedua adalah \(y\). Maka, kita dapat menulis persamaan berikut: \[ y + \dfrac{1}{6}x = x \] Dari persamaan ini, kita dapat menyederhanakannya menjadi: \[ y = x - \dfrac{1}{6}x \] \[ y = \dfrac{5}{6}x \] Selanjutnya, kita juga diberikan informasi bahwa selisih awal kedua bilangan adalah \(2\): \[ x - y = 2 \] Substitusi \(y\) dari persamaan pertama ke dalam persamaan kedua: \[ x - \dfrac{5}{6}x = 2 \] \[ \dfrac{1}{6}x = 2 \] \[ x = 12 \] Dengan nilai \(x\), kita dapat mencari nilai \(y\): \[ y = \dfrac{5}{6}x = \dfrac{5}{6} \times 12 = 10 \] Sekarang kita memiliki kedua bilangan: \(x = 12\) dan \(y = 10\). Hasil kali kedua bilangan tersebut adalah: \[ x \times y = 12 \times 10 = 120 \] Jadi, hasil kali kedua bilangan tersebut adalah \(120\).

B. \(\text{Rp}900,00 \)

Penjelasan:
Misalkan berat kaleng kosong = \(k\) gram dan berat isi penuh = \(i\) gram. Diketahui: \[ k + i = 660,\qquad k + \tfrac{1}{2}i = 420. \] Kurangkan kedua persamaan: \[ (k+i) - \left(k+\tfrac{1}{2}i\right) = \tfrac{1}{2}i = 660 - 420 = 240. \] Sehingga \(i = 480\) gram. Maka berat kaleng kosong: \[ k = 660 - 480 = 180\ \text{gram}. \] Harga jual kaleng kosong: \[ 180 \times 5 = 900\ \text{rupiah}. \] Jadi, jawaban yang benar adalah \(\text{Rp}900,00 \).

D. \(\text{Rp}66.000,00 \)

Penjelasan:
Misalkan uang Ahmad = \(A\), Bagas = \(B\), dan Hasan = \(H\).
Dari soal:
1. \(A = B + 2H + 20000\)
2. \(A + B + H = 100000\)
3. \(|B - H| = 10000\)

Substitusi (1) ke (2):
\[(B + 2H + 20000) + B + H = 100000 \Rightarrow 2B + 3H = 80000\]. Jika \[B - H = 10000 \Rightarrow B = H + 10000\].
Maka \[2(H+10000) + 3H = 80000 \Rightarrow 5H + 20000 = 80000 \Rightarrow H = 12000\]. Sehingga \[B = 22000\]. Maka \[A = 22000 + 2(12000) + 20000 = 66000\]. Jadi uang Ahmad adalah \(\text{Rp}66.000,00\)

C. Dua kali

Penjelasan:
Rumus volume kerucut adalah: \[ V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h \]
Jika tinggi menjadi 3 kali semula, maka: \[ V_{baru} = \tfrac{1}{3}\pi r^2 (3h) = 3V \]
Pertambahan volumenya: \[ V_{baru} - V = 3V - V = 2V \]
Jadi volume bertambah sebanyak \(2 \)kali volume semula

B. \(7,76\)

Penjelasan singkat:
Jumlah nilai awal = \(23 \times 7,6 = 174,8\).
Data salah rata-rata \(6,7\) untuk 2 siswa, jadi jumlahnya = \(2 \times 6,7 = 13,4\).
Data yang benar = \(8,5 + 8,7 = 17,2\).
Koreksi jumlah nilai = \(174,8 - 13,4 + 17,2 = 178,6\).
Rata-rata baru = \(\tfrac{178,6}{23} = 7,76\).

Jadi nilai rata-rata siswa setelah pembetulan adalah \(7,76\)

C. \(3 : 2\)

Pembahasan:
Misalkan harga beli per kg mangga = \(m\) dan per kg manggis = \(g\).
- Total biaya pembelian = \(30m + 50g\).
- Harga jual = \(150\%\) dari harga beli → faktor jual = \(1{,}5\).
- Pendapatan dari penjualan = \(28 \times 1{,}5m + 34 \times 1{,}5g = 42m + 51g\).
- Keuntungan = pendapatan − biaya = \((42m+51g)-(30m+50g)=12m+g\).
Diketahui keuntungan adalah 20% dari total biaya: \[ 12m+g = 0{,}2(30m+50g) = 6m+10g. \] \[ 12m+g = 6m+10g \Rightarrow 6m = 9g \Rightarrow \frac{m}{g} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}. \] Jadi perbandingan harga pembelian mangga : manggis = \(3 : 2\).
Jawaban yang benar adalah \(3:2\).

Penjelasan singkat:

C. \(m(2n+100) : 100 \)

Penjelasan:
Untuk mendapatkan keuntungan sebesar \(2n\%\), Liliput harus menjual produk kosmetik dengan harga yang mencakup harga pokok ditambah keuntungan tersebut.
Harga jual dapat dihitung dengan rumus: \[ \text{Harga Jual} = \text{Harga Pokok} + \text{Keuntungan} \] \[ \text{Harga Jual} = m + \left(\dfrac{2n}{100} \times m\right) \] \[ \text{Harga Jual} = m + \dfrac{2nm}{100} \] \[ \text{Harga Jual} = m\left(1 + \dfrac{2n}{100}\right) \] \[ \text{Harga Jual} = m\left(\dfrac{100 + 2n}{100}\right) \] \[ \text{Harga Jual} = \dfrac{m(100 + 2n)}{100} \] Jadi, Liliput harus menjual produk kosmetik seharga \(m(2n+100) : 100\).

E. \(\text{Rp}14.790,00 \)

Penjelasan:
Jika untuk setiap 2 batang yang dibayar mendapat 1 gratis, maka dari total 12 batang, jumlah batang yang dibayar adalah \(x\) yang memenuhi \(x + \tfrac{x}{2} = 12 \Rightarrow 1{,}5x = 12 \Rightarrow x = 8\). Jadi Lia membayar untuk 8 batang dengan total harga pembelian Rp122.400.
Total biaya = Rp122.400. Untuk keuntungan 45%, total penerimaan yang diinginkan = \(1{,}45 \times 122.400 = 177.480\). Lia menjual seluruh 12 batang, jadi harga per batang = \(\dfrac{177.480}{12} = 14.790\).
Jawaban yang benar adalah \(\text{Rp}14.790,00\).

E. \(\dfrac{3x}{2(y-x) } \) jam

Penjelasan:
Diketahui pesawat \(P\) berangkat pukul \(02:00\) dengan kecepatan \(X\) km/jam, dan pesawat \(Q\) berangkat pukul \(03:30\) dengan kecepatan \(Y\) km/jam. Selisih waktu keberangkatan adalah \(1,5\) jam.
Jarak yang ditempuh pesawat \(P\) sebelum pesawat \(Q\) berangkat adalah: \[ \text{Jarak P} = X \times 1{,}5 = 1{,}5X \] Setelah pesawat \(Q\) berangkat, kita ingin mengetahui waktu \(t\) (dalam jam) yang dibutuhkan pesawat \(Q\) untuk menyusul pesawat \(P\).
Dalam waktu \(t\) jam, jarak yang ditempuh pesawat \(P \) adalah: \[ \text{Jarak P total} = 1{,}5X + Xt = X(t + 1{,}5) \] Jarak yang ditempuh pesawat \(Q\) dalam waktu \(t\) jam adalah: \[ \text{Jarak Q} = Yt \] Karena pesawat \(Q\) menyusul pesawat \(P\), jarak yang ditempuh oleh kedua pesawat harus sama: \[ Yt = X(t + 1{,}5) \] \[ Yt = Xt + 1{,}5X \] \[ Yt - Xt = 1{,}5X \] \[ t(Y - X) = 1{,}5X \] \[ t = \dfrac{1{,}5X}{Y - X} = \dfrac{3X}{2(Y - X)} \] Jadi, waktu yang dibutuhkan pesawat \(Q\) untuk menyusul pesawat \(P\) setelah pukul \(03:30\) adalah \(\dfrac{3X}{2(Y - X)}\) jam.