Soal PKN STAN Paket 6

A. \(\dfrac{2}{3}\).

Pembahasan:
Hitung pembilang dan penyebutnya secara langsung:
Pembilang = \(0.77 \times 1.23 - 0.23 \times 1.23 + 1.23 \times 1.23 - 0.23 \times 0.77 = 2.00\).
Penyebut = \(1.23 \times 1.23 + 1.23 \times 1.77 - 1.23 \times 0.23 - 0.23 \times 1.77 = 3.00\).
Maka, \(\dfrac{2.00}{3.00} = \dfrac{2}{3}\).

Jadi, jawaban yang benar adalah \( \dfrac{2}{3} \)

D. \( -1 \).

Pembahasan:
Kita mulai dengan menyederhanakan pembilang dan penyebut:

\[ \frac{ac - bm - am + bc}{am + bm - bc - ac} \] Kelompokkan suku-suku agar bisa difaktorkan:

Pembilang: \[ ac - am + bc - bm = (a + b)(c - m) \] Penyebut: \[ am + bm - bc - ac = (a + b)(m - c) \] Maka ekspresi menjadi:
\[ \frac{(a + b)(c - m)}{(a + b)(m - c)} \] Jika \( a + b \neq 0 \), kita bisa menyederhanakannya menjadi:
\[ \frac{c - m}{m - c} = -1 \] Jadi, jawaban yang benar adalah \(-1\).

A. \(\text{Rp}125.000\).

Pembahasan:
Misalkan harga buah apel per kg adalah \(x\) dan harga buah jeruk per kg adalah \(y\). Berdasarkan informasi yang diberikan, kita dapat menyusun dua persamaan berdasarkan pembelian Karsa dan Lisa: \[ 2x + 4y = 80000 \] \[ 5x + 2y = 80000 \] Selanjutnya, kita selesaikan sistem persamaan ini. Dari persamaan pertama, kita dapat menyatakan \(x\) dalam bentuk \(y\): \[ x = \frac{80000 - 4y}{2} = 40000 - 2y \] Substitusi nilai \(x\) ke dalam persamaan kedua: \[ 5(40000 - 2y) + 2y = 80000 \] \[ 200000 - 10y + 2y = 80000 \] \[ -8y = -120000 \] \[ y = 15000 \] Dengan mengetahui nilai \(y\), kita substitusi kembali ke dalam persamaan untuk mencari \(x\): \[ x = 40000 - 2(15000) = 10000 \] Jadi, harga buah apel per kg adalah \(\text{Rp}10.000\) dan harga buah jeruk per kg adalah \(\text{Rp}15.000\). Sekarang, kita hitung total biaya yang harus dibayar Mirna untuk membeli \(5\) kg buah apel dan \(5\) kg buah jeruk: \[ 5(10000) + 5(15000) = 50000 + 75000 = 125000 \] Oleh karena itu, uang yang harus dibayarkan Mirna adalah \(\text{Rp}125.000\). Jawaban yang benar adalah \(\text{Rp}125.000\).

B. \( x > y \).

Pembahasan:
Diketahui \( x = \) luas persegi dengan sisi 25 cm dan \( y = \) luas persegi panjang dengan panjang \(30\) cm dan lebar \(20\) cm. Maka, kita hitung masing-masing luasnya: \[ x = 25 \times 25 = 625 \, \text{cm}^2 \] \[ y = 30 \times 20 = 600 \, \text{cm}^2 \] Dengan demikian, kita dapat membandingkan \(x\) dan \(y\): \[ x > y \] Jadi, jawaban yang benar adalah \( x > y \).

B. \( x > y \).

Pembahasan:
Diketahui jarak kota \(A\) dan \(B\) adalah \(120\) km. Kita hitung lama waktu tempuh \(x\) dan \(y\): \[ x = \frac{120 \, \text{km}}{75 \, \text{km/jam}} = 1.6 \, \text{jam} = 96 \, \text{menit} \] \[ y = \frac{120 \, \text{km}}{30 \, \text{m/s}} = \frac{120000 \, \text{m}}{30 \, \text{m/s}} = 4000 \, \text{s} = 66.67 \, \text{menit} \] Dengan demikian, kita dapat membandingkan \(x\) dan \(y\): \[ x > y \] Jadi, jawaban yang benar adalah \( x > y \).

E. \( \frac{15}{16} \).

Pembahasan:
Diketahui \( \frac{x}{y} = \frac{3}{2} \) dan \( \frac{y}{z} = \frac{5}{8} \). Kita dapat menyusun persamaan untuk mencari \( \frac{x}{z} \): \[ \frac{x}{z} = \frac{x}{y} \times \frac{y}{z} = \frac{3}{2} \times \frac{5}{8} = \frac{15}{16} \] Jadi, nilai dari \( \frac{x}{z} \) adalah \( \frac{15}{16} \).

B. \(-20\).

Pembahasan:
Diketahui rasio antara \(X\) dan \(Y\) adalah \(\dfrac{3}{4}\), sehingga kita dapat menulis persamaan pertama sebagai: \[ 4X = 3Y \] atau \[ X = \frac{3}{4}Y \] Selanjutnya, rasio antara \(X + 3\) dan \(Y + 2\) adalah \(\dfrac{2}{3}\), sehingga kita dapat menulis persamaan kedua sebagai: \[ 3(X + 3) = 2(Y + 2) \] Substitusi nilai \(X\) dari persamaan pertama ke dalam persamaan kedua: \[ 3\left(\frac{3}{4}Y + 3\right) = 2(Y + 2) \] \[ \frac{9}{4}Y + 9 = 2Y + 4 \] \[ 9 - 4 = 2Y - \frac{9}{4}Y \] \[ 5 = \frac{8}{4}Y - \frac{9}{4}Y \] \[ 5 = -\frac{1}{4}Y \] \[ Y = -20 \] Jadi, nilai \(Y\) adalah \(-20\).

E. \(20\) menit.

Pembahasan:
Diketahui Si Lisa dapat mencuci piring dalam \(30\) menit, sehingga kecepatan kerjanya adalah \(\frac{1}{30}\) piring per menit. Sedangkan Si Mirna dapat mencuci piring dalam \(60\) menit, sehingga kecepatan kerjanya adalah \(\frac{1}{60}\) piring per menit. Ketika mereka bekerja bersama-sama, kecepatan gabungan mereka adalah: \[ \text{Kecepatan gabungan} = \frac{1}{30} + \frac{1}{60} = \frac{2}{60} + \frac{1}{60} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20} \] Jadi, waktu yang dibutuhkan untuk mencuci piring bersama-sama adalah kebalikan dari kecepatan gabungan: \[ \text{Waktu} = \frac{1}{\text{Kecepatan gabungan}} = \frac{1}{\frac{1}{20}} = 20 \, \text{menit} \] Oleh karena itu, waktu yang dibutuhkan adalah \(20\) menit.

B. \(33\).

Pembahasan:
Diketahui \( \sqrt{x} + \sqrt{y} = 11 \) dan \( \sqrt{x} - \sqrt{y} = 3 \). Kita dapat menyelesaikan sistem persamaan ini dengan menjumlahkan kedua persamaan tersebut: \[ (\sqrt{x} + \sqrt{y}) + (\sqrt{x} - \sqrt{y}) = 11 + 3 \] \[ 2\sqrt{x} = 14 \] \[ \sqrt{x} = 7 \] Selanjutnya, kita substitusi nilai \( \sqrt{x} \) ke dalam salah satu persamaan awal untuk mencari \( \sqrt{y} \): \[ 7 + \sqrt{y} = 11 \] \[ \sqrt{y} = 4 \] Sekarang, kita kuadratkan kedua nilai tersebut untuk mendapatkan \(x\) dan \(y\): \[ x = (\sqrt{x})^2 = 7^2 = 49 \] \[ y = (\sqrt{y})^2 = 4^2 = 16 \] Akhirnya, kita hitung \( x - y \): \[ x - y = 49 - 16 = 33 \] Jadi, jawaban yang benar adalah \(33\).

A. \( x > y \).

Pembahasan:
Diketahui \(x\) adalah banyaknya bilangan prima yang lebih besar dari \(21\) dan kurang dari \(51\). Bilangan prima dalam rentang ini adalah \(23, 29, 31, 37, 41, 43, 47\), sehingga ada \(7\) bilangan prima. Jadi, \(x = 7\).
Selanjutnya, \(y\) adalah banyaknya bilangan positif yang merupakan kelipatan \(6\) yang kurang dari \(36\). Bilangan-bilangan tersebut adalah \(6, 12, 18, 24, 30\), sehingga ada \(5\) bilangan. Jadi, \(y = 5\).
Dengan demikian, kita dapat membandingkan \(x\) dan \(y\): \[ x > y \] Jadi, jawaban yang benar adalah \( x > y \).

E. \( x \) dan \( y \) tidak bisa ditentukan.

Pembahasan:
Diketahui \( 5 < x < 7 \), dan \( 4 < y < 6 \). Nilai \(x\) berada di antara 5 dan 7, sedangkan \(y\) berada di antara 4 dan 6.

Meskipun sebagian nilai \(x\) memang lebih besar dari \(y\), namun ada juga kemungkinan nilai \(x\) lebih kecil dari \(y\), misalnya jika \(x = 5{,}1\) dan \(y = 5{,}9\).

Jadi, tidak dapat dipastikan apakah \(x > y\) atau \(x < y\).

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah \(x\) dan \(y\) tidak bisa ditentukan.

B. \(18\).

Pembahasan:
Misalkan umur Karsa saat ini adalah \(K\) tahun dan umur ayahnya saat ini adalah \(A\) tahun. Berdasarkan informasi yang diberikan, kita dapat menyusun dua persamaan:

1. Tujuh tahun yang lalu, umur ayah sama dengan enam kali umur Karsa: \[ A - 7 = 6(K - 7) \] 2. Tahun depan, umur ayah dua lebihnya dari tiga kali umur Karsa: \[ A + 1 = 3(K + 1) + 2 \] Sekarang kita selesaikan sistem persamaan ini. Dari persamaan pertama, kita dapat menulis ulang sebagai: \[ A - 7 = 6K - 42 \] \[ A = 6K - 35 \] Substitusi nilai \(A\) dari persamaan pertama ke dalam persamaan kedua: \[ (6K - 35) + 1 = 3(K + 1) + 2 \] \[ 6K - 34 = 3K + 3 + 2 \] \[ 6K - 34 = 3K + 5 \] \[ 3K = 39 \] \[ K = 13 \] Jadi, umur Karsa saat ini adalah \(13\) tahun. Untuk mengetahui umur Karsa lima tahun yang akan datang, kita tambahkan \(5\) tahun ke umur saat ini: \[ K + 5 = 13 + 5 = 18 \] Oleh karena itu, umur Karsa lima tahun yang akan datang adalah \(18\) tahun. Jawaban yang benar adalah \(18\).

D. \(1\).

Pembahasan:
Diketahui \( 3a^2 + ab = 10 \) dan \( b^2 - \frac{1}{3}ab = -\frac{7}{3} \). Kita dapat menyelesaikan sistem persamaan ini untuk mencari nilai \( a^2 + b^2 \).

Dari persamaan pertama, kita dapat menulis ulang sebagai: \[ ab = 10 - 3a^2 \] Substitusi nilai \( ab \) ke dalam persamaan kedua: \[ b^2 - \frac{1}{3}(10 - 3a^2) = -\frac{7}{3} \] \[ b^2 - \frac{10}{3} + a^2 = -\frac{7}{3} \] \[ b^2 + a^2 = \frac{10}{3} - \frac{7}{3} \] \[ b^2 + a^2 = 1 \] Jadi, nilai dari \( a^2 + b^2 \) adalah \(1\). Jawaban yang benar adalah \(1\).

D. \( x < y \).

Pembahasan:
Diketahui \( s \) adalah bilangan bulat positif dan \( s = r + 3 \). Jika \(x-2 = (r+2)(r+4)\) dan \(y = 2(r+4)^2 \), maka kita dapat menyederhanakan ekspresi untuk \(x\) dan \(y\):
1. Untuk \(x\): \[ x - 2 = (r + 2)(r + 4) \] \[ x - 2 = r^2 + 6r + 8 \] \[ x = r^2 + 6r + 10 \] 2. Untuk \(y\): \[ y = 2(r + 4)^2 \] \[ y = 2(r^2 + 8r + 16) \] \[ y = 2r^2 + 16r + 32 \] Sekarang kita bandingkan \(x\) dan \(y\): \[ x - y = (r^2 + 6r + 10) - (2r^2 + 16r + 32) \] \[ x - y = -r^2 - 10r - 22 \] Karena \(r\) adalah bilangan bulat positif, maka ekspresi di atas akan selalu negatif. Oleh karena itu, kita dapat menyimpulkan bahwa:
\[ x < y \] Jadi, jawaban yang benar adalah \( x < y \).

C. \( \frac{x^2(y - 1)}{y + 2} \).

Pembahasan:
Diketahui \( \frac{x^2 y^2 - 4x^2 y + 3x^2}{y^4 - y^3 - 6y^2} = \). Kita dapat menyederhanakan pembilang dan penyebutnya:
1. Pembilang: \[ x^2 y^2 - 4x^2 y + 3x^2 = x^2(y^2 - 4y + 3) = x^2(y - 1)(y - 3) \]
2. Penyebut: \[ y^4 - y^3 - 6y^2 = y^2(y^2 - y - 6) = y^2(y - 3)(y + 2) \]
Sekarang kita substitusi hasil faktorisasi ke dalam fraksi: \[ \frac{x^2(y - 1)(y - 3)}{y^2(y - 3)(y + 2)} \]
Kita dapat menyederhanakan dengan menghilangkan faktor \( (y - 3) \) yang ada di pembilang dan penyebut: \[ \frac{x^2(y - 1)}{y^2(y + 2)} \]
Jadi, jawaban yang benar adalah \( \frac{x^2(y - 1)}{y + 2} \).

B. \(5\).

Pembahasan:
Diketahui pola:
\( 4 * 3 (28) \)
\( 5*6 (55) \)
\( 2*A (14) \)
Kita perhatikan pola pada angka-angka tersebut. Jika kita lihat, hasil dalam tanda kurung tampaknya merupakan hasil dari operasi tertentu pada angka-angka di depannya.
Untuk baris pertama: \( 4 + 3 = 7 \) dan dikalikan dengan angka didepannya yaitu \(4\) sehingga menghasilkan \(28\)
Untuk baris kedua: \( 5 + 6 = 11 \) dan dikalikan dengan angka didepannya yaitu \(5\) sehingga menghasilkan \(55\)
Maka untuk baris ketiga: \( 2 + A = 7 \) sehingga \( A = 5 \) dan dikalikan dengan angka didepannya yaitu \(2\) sehingga menghasilkan \(14\)
Jadi, nilai \( A \) adalah \(5\).

C. \(20\).

Pembahasan:
Untuk menghitung banyaknya angka \(6\) pada bilangan dari \(0\) sampai dengan \(100\), kita perlu memperhatikan setiap posisi digit (satuan, puluhan, dan ratusan).
1. **Digit Satuan**: Angka \(6\) muncul pada bilangan \(6, 16, 26, 36, 46, 56, 66, 76, 86, 96\). Jadi, ada \(10\) kali angka \(6\) pada posisi satuan.
2. **Digit Puluhan**: Angka \(6\) muncul pada bilangan \(60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69\). Jadi, ada \(10\) kali angka \(6\) pada posisi puluhan.
3. **Digit Ratusan**: Dalam rentang dari \(0\) sampai dengan \(100\), tidak ada bilangan yang memiliki digit ratusan sebagai \(6\). Jadi, tidak ada kontribusi dari posisi ratusan.
Dengan demikian, total kemunculan angka \(6\) adalah: \[ 10 \text{ (dari satuan)} + 10 \text{ (dari puluhan)} = 20 \] Jadi, jawaban yang benar adalah \(20\).

A. \(36\) km/jam.

Pembahasan:
Diketahui jarak ke tempat kerja adalah \(30\) km dan waktu tempuh normal adalah \(1\) jam. Jika terlambat berangkat \(10\) menit, maka waktu yang tersisa untuk sampai tepat waktu adalah \(50\) menit atau \(\frac{50}{60}\) jam.
Kecepatan yang harus digunakan dapat dihitung dengan rumus: \[ \text{Kecepatan} = \frac{\text{Jarak}}{\text{Waktu}} \] Substitusi nilai jarak dan waktu: \[ \text{Kecepatan} = \frac{30 \, \text{km}}{\frac{50}{60} \, \text{jam}} = 30 \times \frac{60}{50} = 36 \, \text{km/jam} \] Jadi, kecepatan yang harus digunakan agar sampai tepat waktu adalah \(36\) km/jam. Jawaban yang benar adalah \(36\) km/jam.

A. \( r = q \).

Pembahasan:
Diketahui \( r = 331 \times 329 - 330^2 + 2 \) dan \( q = 410^2 - 411 \times 409 \). Kita akan menyederhanakan kedua ekspresi tersebut untuk membandingkannya.
1. Untuk \(r\): \[ r = 331 \times 329 - 330^2 + 2 \] Kita dapat menulis ulang \(331\) dan \(329\) sebagai \(330 + 1\) dan \(330 - 1\): \[ r = (330 + 1)(330 - 1) - 330^2 + 2 \] \[ r = (330^2 - 1) - 330^2 + 2 \] \[ r = -1 + 2 = 1 \] 2. Untuk \(q\): \[ q = 410^2 - 411 \times 409 \] Kita dapat menulis ulang \(411\) dan \(409\) sebagai \(410 + 1\) dan \(410 - 1\): \[ q = 410^2 - (410 + 1)(410 - 1) \] \[ q = 410^2 - (410^2 - 1) \] \[ q = 410^2 - 410^2 + 1 = 1 \] Dengan demikian, kita mendapatkan: \[ r = 1 \] dan \[ q = 1 \] Jadi, kita dapat menyimpulkan bahwa: \[ r = q \] Jawaban yang benar adalah \( r = q \).

A. \( x < y \).

Pembahasan:
Diketahui:
\( x = \) jumlah bilangan ganjil antara 11 dan 40
\( y = \) jumlah bilangan genap antara 11 dan 40
1. **Untuk bilangan ganjil:**
Bilangan ganjil pertama \( a_1 = 11 \), bilangan ganjil terakhir \( a_n = 39 \), dan beda \( d = 2 \).
Banyak suku: \[ n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1 = \frac{39 - 11}{2} + 1 = 15 \] Jumlah deret ganjil: \[ x = S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{15}{2}(11 + 39) = 15 \times 25 = 375 \] 2. **Untuk bilangan genap:**
Bilangan genap pertama \( a_1 = 12 \), bilangan genap terakhir \( a_n = 40 \), dan beda \( d = 2 \).
Banyak suku: \[ n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1 = \frac{40 - 12}{2} + 1 = 15 \] Jumlah deret genap: \[ y = S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{15}{2}(12 + 40) = 15 \times 26 = 390 \] 3. **Perbandingan:**
\[ x = 375, \quad y = 390 \] Maka jelas bahwa: \[ x < y \]
Jadi, jawaban yang benar adalah \( x < y \).