Soal PKN STAN Paket 7

E. \( (2(x+y)) ((x-y)-2) \)s.

Pembahasan:
\[ 2x^2-4x-2y^2-4y = 2(x^2-2x-y^2-2y) \] \[ = 2((x^2-2x+1) - (y^2+2y+1)) \] \[ = 2((x-1)^2 - (y+1)^2) \] \[ = 2((x-1)-(y+1))((x-1)+(y+1)) \] \[ = 2(x-y-2)(x+y) \] Jadi, jawaban yang benar adalah \( (2(x+y)) ((x-y)-2) \)

A. \(4\) m.

Pembahasan:
Misalkan panjang tembok adalah \(x\) m.
Luas tembok = \(3x\) m²
Tembok yang telah selesai dicat = \(\dfrac{1}{3} \times 3x = x\) m²
Setelah mengecat \(5\) m² lagi, tembok yang telah dicat = \(x + 5\) m²
Diketahui bahwa tembok yang telah dicat adalah \(\dfrac{3}{4}\) dari luas tembok, maka: \[ x + 5 = \dfrac{3}{4} \times 3x \] \[ x + 5 = \dfrac{9x}{4} \] \[ 4(x + 5) = 9x \] \[ 4x + 20 = 9x \] \[ 20 = 9x - 4x \] \[ 20 = 5x \] \[ x = \dfrac{20}{5} = 4 \] Jadi, panjang tembok adalah \(4\) m.

D. \(75\).

Pembahasan:
Misalkan kecepatan mobil pertama adalah \(x\) km/jam.
Kecepatan mobil kedua adalah \(x + 15\) km/jam.
Waktu perjalanan mobil pertama = \(\dfrac{450}{x}\) jam.
Waktu perjalanan mobil kedua = \(\dfrac{450}{x + 15}\) jam.
Diketahui bahwa waktu perjalanan mobil kedua \(1\) jam lebih singkat dari waktu perjalanan mobil pertama, maka: \[ \dfrac{450}{x} - \dfrac{450}{x + 15} = 1 \] \[ 450(x + 15) - 450x = x(x + 15) \] \[ 450x + 6750 - 450x = x^2 + 15x \] \[ x^2 + 15x - 6750 = 0 \] \[ (x + 90)(x - 75) = 0 \] \[ x = -90 \text{ (tidak mungkin)} \] atau \[ x = 75 \] Jadi, kecepatan mobil pertama adalah \(75\) km/jam.

B. \(\text{Rp}138.000 \).

Pembahasan:
Misalkan harga mangga per kg adalah \(x\), harga jeruk per kg adalah \(y\), dan harga anggur per kg adalah \(z\).
Dari informasi yang diberikan, kita dapat menyusun sistem persamaan berikut:
\[ 2x + 2y + z = 157.000 \tag{1} \] \[ x + 2y + 2z = 178.000 \tag{2} \] \[ 2x + 2y + 3z = 247.000 \tag{3} \] Kita dapat menyelesaikan sistem persamaan ini untuk menemukan nilai \(x\), \(y\), dan \(z\).

Dari (1) dan (2), kita akan mengeliminasi \(y\) dengan mengalikan (1) dengan \(1\) dan (2) dengan \(-2\):
\[ 2x + 2y + z = 157.000 \] \[ -2x - 4y - 4z = -356.000 \] Menambahkan kedua persamaan ini menghasilkan:
\[ -2y - 3z = -199.000 \tag{4} \]
Dari (1) dan (3), kita juga akan mengeliminasi \(y\) dengan mengalikan (1) dengan \(1\) dan (3) dengan \(-1\):
\[ 2x + 2y + z = 157.000 \] \[ -2x - 2y - 3z = -247.000 \] Menambahkan kedua persamaan ini menghasilkan:
\[ -2z = -90.000 \] \[ z = 45.000 \]
Substitusi nilai \(z\) ke dalam (4):
\[ -2y - 3(45.000) = -199.000 \] \[ -2y - 135.000 = -199.000 \] \[ -2y = -64.000 \] \[ y = 32.000 \]
Substitusi \(y\) dan \(z\) ke dalam (1):
\[ 2x + 2(32.000) + 45.000 = 157.000 \] \[ 2x + 64.000 + 45.000 = 157.000 \] \[ 2x + 109.000 = 157.000 \] \[ 2x = 48.000 \] \[ x = 24.000 \]
Jadi, harga per kg masing-masing buah adalah:
\[ \text{Mangga} = \text{Rp}24.000, \quad \text{Jeruk} = \text{Rp}32.000, \quad \text{Anggur} = \text{Rp}45.000. \]
Harga parcel yang berisi \(2\) kg mangga dan \(2\) kg anggur adalah:
\[ 2(24.000) + 2(45.000) = 48.000 + 90.000 = 138.000 \] Jadi, harga parcel tersebut adalah \(\text{Rp}138.000 \).

D. \(42.500,00\).

Pembahasan:
Misalkan uang Lisa adalah \(L\) dan uang Karsa adalah \(K\). Dari informasi yang diberikan, kita dapat menyusun sistem persamaan berikut:
\[ L - K = 7.500 \tag{1} \] \[ K + 0,1L = 0,8L \tag{2} \] Dari (2), kita dapat menyederhanakan menjadi:
\[ K = 0,7L \tag{3} \] Substitusi (3) ke dalam (1):
\[ L - 0,7L = 7.500 \] \[ 0,3L = 7.500 \] \[ L = 25.000 \] Substitusi \(L\) ke dalam (3):
\[ K = 0,7(25.000) = 17.500 \] Jadi, jumlah uang keduanya adalah:
\[ L + K = 25.000 + 17.500 = 42.500 \]

E. \(108\).

Pembahasan:
Misalkan jumlah permen coklat adalah \(5x\) dan jumlah permen susu adalah \(7x\). Dari informasi yang diberikan, kita tahu bahwa:
\[7x - 5x = 8\] \[2x = 8\] \[x = 4\] Jadi, jumlah permen coklat adalah \(5(4) = 20\) dan jumlah permen susu adalah \(7(4) = 28\).
Selanjutnya, perbandingan permen kopi dan permen coklat adalah \(6:2\) atau \(3:1\). Jadi, jumlah permen kopi adalah \(3(20) = 60\).
Jumlah ketiga jenis permen dalam toples tersebut adalah:
\(20 + 28 + 60 = 108\)

E. \(12,5\) L.

Pembahasan:
Diketahui bahwa dengan \(5\) L minyak jelantah, kendaraan mampu menempuh jarak \(60\) km. Maka, konsumsi minyak jelantah per km adalah: \[ \text{Konsumsi per km} = \dfrac{5 \text{ L}}{60 \text{ km}} = \dfrac{1}{12} \text{ L/km} \] Untuk menempuh jarak \(150\) km, jumlah minyak jelantah yang diperlukan adalah: \[ \text{Jumlah minyak} = \text{Konsumsi per km} \times \text{Jarak} = \dfrac{1}{12} \text{ L/km} \times 150 \text{ km} = 12,5 \text{ L} \] Jadi, jawaban yang benar adalah \(12,5\) L.

.

Pembahasan:
Total karyawan yang telah mengikuti pelatihan adalah \(45 + 12 = 57\). Probabilitas bahwa karyawan yang terpilih adalah yang telah mengikuti pelatihan dapat dihitung dengan rumus: \[ P(\text{pelatihan}) = \dfrac{\text{Jumlah karyawan yang telah mengikuti pelatihan}}{\text{Total karyawan}} \] \[ P(\text{pelatihan}) = \dfrac{57}{900} = 0,0633 \] Jadi, probabilitas karyawan yang terpilih adalah yang telah mengikuti pelatihan adalah sekitar \(0,0633\) atau \(6,33\%\).

D. \(192\).

Pembahasan:
Misalkan dua bilangan tersebut adalah \(x\) dan \(y\), dengan \(x > y\). Dari informasi yang diberikan, kita dapat menyusun sistem persamaan berikut:
\[ x - y = 6 \tag{1} \] \[ x + y = 32 \tag{2} \] Untuk menemukan selisih dari kuadrat kedua bilangan tersebut, kita dapat menggunakan identitas aljabar:
\[ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) \] Substitusi nilai dari (1) dan (2) ke dalam identitas tersebut:
\[ x^2 - y^2 = (6)(32) = 192 \] Jadi, selisih dari kuadrat kedua bilangan tersebut adalah \(192\).

D. \(16\).

Pembahasan:
Misalkan jari-jari lingkaran \(L\) adalah \(R\). Maka, jari-jari lingkaran \(P\) adalah \(r = 0,4R\). Luas lingkaran dapat dihitung dengan rumus: \[ \text{Luas} = \pi r^2 \] Jadi, luas lingkaran \(P\) adalah: \[ \text{Luas}_P = \pi (0,4R)^2 = \pi (0,16R^2) = 0,16\pi R^2 \] Luas lingkaran \(L\) adalah: \[ \text{Luas}_L = \pi R^2 \] Persentase luas lingkaran \(P\) dari lingkaran \(L\) dapat dihitung dengan rumus: \[ \text{Persentase} = \left( \dfrac{\text{Luas}_P}{\text{Luas}_L} \right) \times 100\% = \left( \dfrac{0,16\pi R^2}{\pi R^2} \right) \times 100\% = 0,16 \times 100\% = 16\% \] Jadi, luas lingkaran \(P\) adalah \(16\%\) dari luas lingkaran \(L\).

C. \(90\).

Pembahasan:
Misalkan nilai yang harus diperoleh untuk mata pelajaran ke lima adalah \(x\). Rata-rata nilai dari \(5\) mata pelajaran dapat dihitung dengan rumus: \[ \text{Rata-rata} = \dfrac{\text{Jumlah nilai}}{\text{Jumlah mata pelajaran}} \] Diketahui bahwa rata-rata yang diinginkan adalah \(86\), maka: \[ 86 = \dfrac{82 + 94 + 86 + 78 + x}{5} \] \[ 86 \times 5 = 82 + 94 + 86 + 78 + x \] \[ 430 = 340 + x \] \[ x = 430 - 340 = 90 \] Jadi, nilai yang harus diperoleh untuk mata pelajaran ke lima adalah \(90\).

A. \(74\) orang.

Pembahasan:
Misalkan jumlah orang yang pernah makan di Restoran \(A\) dan \(B\) adalah \(x\). Dari informasi yang diberikan, kita dapat menngguankan prinsip inclusion-exclusion untuk menghitung jumlah total orang yang pernah makan di Restoran \(A\) atau \(B\):
\[ \text{Total orang} = \text{Orang di A} + \text{Orang di B} - \text{Orang di A dan B} + \text{Orang di luar A dan B} \] \[ 150 = 114 + 98 - x + 12 \] \[ 150 = 224 - x \] \[ x = 224 - 150 = 74 \] Jadi, jumlah orang yang pernah makan di Restoran \(A\) dan \(B\) adalah \(74\) orang.

C. \(100\) orang.

Pembahasan:
Total pekerjaan yang harus diselesaikan adalah: \[ 25 \text{ orang} \times 30 \text{ hari} = 750 \text{ satuan kerja}. \] Setelah \(20\) hari, pekerjaan yang sudah selesai: \[ 25 \times 20 = 500 \text{ satuan kerja}. \] Jadi sisa pekerjaan: \[ 750 - 500 = 250 \text{ satuan kerja}. \] Karena pekerjaan sempat berhenti selama \(8\) hari, waktu tersisa untuk menyelesaikan gedung hanyalah: \[ 30 - (20 + 8) = 2 \text{ hari}. \] Misalkan jumlah pekerja setelah penambahan adalah \(x\). Maka: \[ x \times 2 = 250 \implies x = 125. \] Karena pekerja awal berjumlah \(25\), maka pekerja tambahan yang dibutuhkan: \[ 125 - 25 = 100 \text{ orang}. \].

B. \(80\).

Pembahasan:
Pertama ubah persentase ke jumlah siswa (total \(150\) siswa):
- \(8\%\) dari \(150\) = \(12\) siswa memperoleh nilai \(50\).
- \(8\%\) dari \(150\) = \(12\) siswa memperoleh nilai \(60\).
- \(14\%\) dari \(150\) = \(21\) siswa memperoleh nilai \(70\).
- \(50\%\) dari \(150\) = \(75\) siswa memperoleh nilai \(80\).
- \(16\%\) dari \(150\) = \(24\) siswa memperoleh nilai \(90\).
- \(4\%\) dari \(150\) = \(6\) siswa memperoleh nilai \(100\).
(Cek: \(12+12+21+75+24+6=150\).) Median untuk \(n=150\) adalah rata-rata nilai ke-75 dan ke-76 setelah data diurutkan. Frekuensi kumulatif: sampai 50 = 12; sampai 60 = 24; sampai 70 = 45; sampai 80 = 120. Karena nilai ke-75 dan ke-76 berada pada kelompok nilai \(80\), maka median = 80. Jadi jawaban yang benar: \(80\)

A. \(50\).

Pembahasan:
Range adalah selisih antara nilai maksimum dan nilai minimum dalam suatu data. Dari informasi yang diberikan, nilai maksimum adalah \(100\) dan nilai minimum adalah \(50\). Jadi, range dapat dihitung sebagai berikut:
\[ \text{Range} = \text{Nilai Maksimum} - \text{Nilai Minimum} \] \[ \text{Range} = 100 - 50 = 50 \] Jadi, range dari hasil ujian matematika tersebut adalah \(50\).

E. \(77,0\).

Pembahasan:
Mean (rata-rata) dapat dihitung dengan menjumlahkan semua nilai dan membaginya dengan jumlah data. Dari informasi yang diberikan, kita dapat menghitung mean sebagai berikut:
- Jumlah nilai: \( (12 \times 50) + (12 \times 60) + (21 \times 70) + (75 \times 80) + (24 \times 90) + (6 \times 100) = 600 + 720 + 1470 + 6000 + 2160 + 600 = 11550 \)
- Jumlah siswa: \(150\)
- Mean: \( \dfrac{11550}{150} = 77 \)
Jadi, nilai mean (rata-rata) dari hasil ujian matematika tersebut adalah \(77\).

A. \(80\).

Pembahasan:
Modus adalah nilai yang paling sering muncul dalam suatu data. Dari informasi yang diberikan, kita dapat melihat bahwa nilai \(80\) diperoleh oleh \(75\) siswa, yang merupakan jumlah tertinggi dibandingkan nilai lainnya. Oleh karena itu, modus dari hasil ujian matematika tersebut adalah \(80\).

E. \(2 : 5\).

Pembahasan:
Harga rata-rata sebelum perubahan: \[ \frac{8000a + 10000b}{a + b} \] Setelah perubahan harga: \(A\) turun 10% → \(7200\); \(B\) naik 20% → \(12000\). Maka harga campuran tetap sama: \[ \frac{8000a + 10000b}{a + b} = \frac{7200a + 12000b}{a + b} \] Sehingga \(8000a + 10000b = 7200a + 12000b\) → \(800a = 2000b\) → \(a : b = 5 : 2\). Maka perbandingan berat beras B dibanding beras A adalah \(2 : 5\).

A. \(\frac{5x}{6}\).

Penjelasan:
Total pekerjaan = \(10 \times x\) orang-hari. Jika ingin selesai dalam 12 hari: \[ \text{Jumlah pekerja baru} = \frac{10x}{12} = \frac{5x}{6}. \] Jadi diperlukan \(\frac{5x}{6}\) pekerja.

A. \(40\).

Pembahasan:
Total pekerjaan = \(60 \times 30 = 1800\) orang-hari. Setelah 10 hari, pekerjaan yang telah diselesaikan adalah \(60 \times 10 = 600\) orang-hari. Sisa pekerjaan = \(1800 - 600 = 1200\) orang-hari.
Waktu tersisa = \(30 - 10 - 8 = 12\) hari. \[ \text{Jumlah pekerja tambahan} = \frac{1200}{12} - 60 = 100 - 60 = 40. \] Jadi, diperlukan \(40\) pekerja tambahan.