Distribusi Peubah Acak Diskrit dan Kontinu: Pengertian, Perbedaan, dan Contoh

Apa Sih Peubah Acak Itu?

Nah, kalau kamu lagi belajar statistika atau probabilitas, pasti bakal ketemu sama istilah peubah acak atau dalam bahasa Inggrisnya random variable. Peubah acak itu gampangnya adalah sesuatu yang hasilnya ditentukan oleh proses yang acak. Jadi, nilainya bisa berubah-ubah tergantung "nasib" alias peluang.

Biasanya kita pakai huruf kapital kayak \(X, Y, Z\) buat nunjukin peubah acak, dan huruf kecil \(x, y, z\) buat nilai yang mungkin muncul dari peubah acak itu.

Nah, berdasarkan jenis nilainya, peubah acak itu dibagi dua:

• Diskrit: Nilainya bisa dihitung satu-satu, kayak jumlah kepala waktu lempar koin.
• Kontinu: Nilainya bisa di mana aja dalam suatu rentang, misalnya tinggi badan orang.

Distribusi Peubah Acak Diskrit

Di bagian ini kita bahas tentang peubah acak diskrit. Jadi, kalau kamu punya variabel yang cuma bisa punya nilai tertentu (kayak 0, 1, 2, ...), itu namanya diskrit. Distribusinya digambarkan lewat yang namanya PMF (Probability Mass Function).

Supaya bisa disebut distribusi peluang, PMF harus memenuhi dua hal ini:

• Probabilitas tiap nilai antara 0 dan 1.
• Total semua probabilitasnya = 1.

Contoh Populer

• Distribusi Binomial: Contoh: berapa banyak kepala muncul dari 5 kali lempar koin.
• Distribusi Poisson: Contoh: jumlah mobil lewat di jalan dalam 1 jam.

Rumus Distribusi Binomial

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]

• \(n\): jumlah percobaan
• \(k\): jumlah sukses
• \(p\): peluang sukses tiap kali percobaan

Contoh: Lempar koin 5x, mau cari peluang dapat 3 kepala:

\[ P(X = 3) = \binom{5}{3} (0.5)^3 (0.5)^2 = 0.3125 \]

Distribusi Peubah Acak Kontinu

Sekarang giliran yang kontinu. Kalau variabelmu bisa punya nilai berapa aja dalam suatu rentang, kayak tinggi badan dari 150 cm sampai 200 cm, itu berarti kontinu. Distribusinya dijelaskan pakai PDF (Probability Density Function).

PDF harus patuh sama dua aturan:

• Nilai PDF (\(f(x)\)) harus selalu positif.
• Luas area di bawah kurva (integral) harus = 1.

Contoh Distribusi Kontinu

• Normal: Bentuknya kayak lonceng. Misalnya tinggi badan, nilai ujian, dll.
• Eksponensial: Misalnya waktu antar kedatangan pelanggan ke restoran.

Rumus Distribusi Normal

\[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \]

• \(\mu\): rata-rata
• \(\sigma\): simpangan baku

Contoh Nyata

Diskrit

Misalnya kamu lempar dadu. Peubah acaknya \(X\) adalah jumlah mata dadu yang muncul, yaitu 1 sampai 6. Probabilitas tiap nilai adalah \(\frac{1}{6}\).

Kontinu

Kalau kamu pilih orang secara acak dan ukur tinggi badannya, hasilnya bisa antara 150 sampai 200 cm. Ini termasuk peubah acak kontinu. Kita bisa hitung peluang seseorang punya tinggi antara 160 dan 170 cm pakai PDF.

Diskrit vs Kontinu

Kesimpulan

Jadi intinya, peubah acak itu penting banget buat bantu kita memodelkan kejadian-kejadian acak dalam dunia nyata. Mau itu jumlah pelanggan, tinggi badan, hasil ujian, semuanya bisa dimodelkan pakai peubah acak.

Pahami bedanya antara diskrit dan kontinu supaya kamu tahu kapan harus pakai distribusi binomial, kapan harus pakai distribusi normal. Dengan ngerti konsep ini, kamu bisa bikin keputusan yang lebih cerdas dan analisis data yang lebih mantap!