Distribusi Peubah Acak Diskrit dan Kontinu: Pengertian, Perbedaan, dan Contoh

Pengertian Peubah Acak

Dalam statistika dan probabilitas, peubah acak (random variable) adalah suatu variabel yang nilainya merupakan hasil dari suatu proses acak. Secara formal, peubah acak adalah fungsi yang memetakan setiap anggota ruang sampel ke bilangan riil. Peubah acak biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, seperti \(X, Y, Z\), sedangkan nilai yang mungkin dari peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil \(x, y, z\).

Peubah acak memainkan peran penting dalam statistika karena memungkinkan kita untuk mengkuantifikasi hasil dari eksperimen acak. Berdasarkan sifat nilai yang dihasilkan, peubah acak dapat dibagi menjadi dua jenis utama:

• Peubah Acak Diskrit: Variabel yang hanya dapat mengambil nilai tertentu, biasanya berupa bilangan bulat atau himpunan nilai yang terhitung. Contoh: jumlah kepala dalam pelemparan koin.
• Peubah Acak Kontinu: Variabel yang dapat mengambil nilai dalam rentang kontinu (interval). Contoh: tinggi badan seseorang atau waktu tempuh suatu reaksi kimia.

Distribusi Peubah Acak Diskrit

Distribusi Peubah Acak Diskrit adalah suatu fungsi yang menggambarkan peluang setiap nilai yang mungkin dari sebuah peubah acak diskrit. Peubah acak diskrit hanya dapat mengambil nilai tertentu dalam suatu himpunan yang terhitung, seperti bilangan bulat atau himpunan nilai tertentu lainnya. Fungsi distribusi ini disebut fungsi massa probabilitas (Probability Mass Function, PMF).

Untuk memenuhi syarat sebagai distribusi probabilitas, fungsi massa probabilitas harus memenuhi dua kondisi:

• Setiap probabilitas individu bernilai antara 0 dan 1, yaitu \( 0 \leq P(X = x) \leq 1 \).
• Total dari semua probabilitas adalah 1, yaitu \( \sum_{x} P(X = x) = 1 \).

Contoh Distribusi Diskrit

• Distribusi Binomial: Digunakan untuk menghitung jumlah keberhasilan dalam sejumlah percobaan tertentu yang independen, dengan probabilitas keberhasilan yang sama pada setiap percobaan. Contoh: Probabilitas mendapatkan 3 kepala dalam 5 pelemparan koin.
• Distribusi Poisson: Digunakan untuk memodelkan jumlah kejadian dalam interval waktu atau ruang tertentu, dengan asumsi kejadian terjadi secara independen dan dengan rata-rata yang konstan. Contoh: Jumlah panggilan masuk ke call center dalam satu jam.

Rumus Distribusi Binomial

Probabilitas distribusi binomial diberikan oleh rumus:

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]

Di mana:

• \( n \): jumlah percobaan
• \( k \): jumlah keberhasilan
• \( p \): probabilitas keberhasilan pada setiap percobaan

Contoh: Jika sebuah koin dilempar 5 kali, probabilitas mendapatkan tepat 3 kepala (\( k = 3 \)) dengan \( p = 0.5 \) adalah:

\[ P(X = 3) = \binom{5}{3} (0.5)^3 (0.5)^{2} = 10 \times 0.125 \times 0.25 = 0.3125 \]

Distribusi Peubah Acak Kontinu

Distribusi Peubah Acak Kontinu adalah distribusi peluang untuk peubah acak yang dapat mengambil nilai dari suatu interval kontinu (tak terhitung), seperti semua bilangan real dalam interval tertentu. Peubah acak kontinu berbeda dari peubah acak diskrit karena nilai-nilainya tidak dapat dihitung satu per satu. Sebaliknya, probabilitas suatu variabel berada dalam interval \([a, b]\) dihitung dengan integral dari fungsi kepadatan probabilitas (Probability Density Function, PDF).

Fungsi kepadatan probabilitas \( f(x) \) harus memenuhi dua syarat:

• \( f(x) \geq 0 \) untuk semua \( x \).
• \( \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1 \).

Contoh Distribusi Kontinu

• Distribusi Normal: Digunakan untuk memodelkan banyak fenomena alam, seperti tinggi badan, nilai ujian, atau kesalahan pengukuran. Distribusi ini simetris dan berbentuk lonceng.
• Distribusi Eksponensial: Digunakan untuk memodelkan waktu antar kejadian dalam proses Poisson. Contoh: Waktu antara kedatangan pelanggan di restoran atau waktu kegagalan suatu komponen elektronik.

Rumus Distribusi Normal

Fungsi kepadatan probabilitas distribusi normal diberikan oleh:

\[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \]

Di mana:

• \( \mu \): rata-rata (mean)
• \( \sigma \): simpangan baku (standard deviation)

Contoh: Jika tinggi badan seseorang mengikuti distribusi normal dengan \( \mu = 170 \) cm dan \( \sigma = 10 \) cm, probabilitas tinggi badan berada antara 160 cm dan 180 cm dapat dihitung menggunakan integral dari PDF.

Contoh Aplikasi

Peubah Acak Diskrit

Misalkan sebuah dadu dilempar, maka peubah acak \( X \) menyatakan jumlah mata dadu yang muncul. Nilai \( X \) adalah salah satu dari \( \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \). Distribusi probabilitasnya seragam, dengan setiap nilai memiliki probabilitas \( \frac{1}{6} \).

Peubah Acak Kontinu

Misalkan tinggi badan seseorang dipilih secara acak dari populasi tertentu, maka peubah acak \( Y \) menyatakan tinggi badan tersebut. Nilai \( Y \) berada pada interval, misalnya \( [150, 200] \) cm. Jika tinggi badan mengikuti distribusi normal dengan \( \mu = 175 \) cm dan \( \sigma = 10 \) cm, kita dapat menghitung probabilitas tinggi badan berada dalam rentang tertentu menggunakan fungsi kepadatan probabilitas.

Perbandingan Peubah Acak Diskrit dan Kontinu

Kesimpulan

Peubah acak diskrit dan kontinu merupakan konsep dasar dalam probabilitas dan statistik yang digunakan untuk memodelkan berbagai fenomena. Peubah acak diskrit cocok untuk data yang berupa bilangan bulat atau dapat dihitung, sementara peubah acak kontinu cocok untuk data yang dapat berada dalam suatu interval. Pemahaman mengenai kedua jenis peubah acak ini sangat penting untuk analisis data, pengambilan keputusan, dan pemodelan statistik.

Dengan memahami distribusi peubah acak, kita dapat membuat prediksi yang lebih akurat dan mengambil keputusan yang lebih informatif berdasarkan data. Semoga artikel ini membantu Anda memahami konsep peubah acak diskrit dan kontinu dengan lebih baik.