Distribusi Sampling

Distribusi Sampling: Contoh Soal

Pada artikel ini dibahas penerapan konsep Distribusi Sampling beserta contoh soal dan penyelesaiannya.

Informasi Awal

Jumlah kalori dalam satu order poutine di sebuah restoran cepat saji mengikuti distribusi normal dengan parameter:

  • Rata-rata (\( \mu = 740 \)) kalori
  • Simpangan baku (\( \sigma = 20 \)) kalori

Pertanyaan

  1. Berapa probabilitas bahwa satu order memiliki setidaknya 760 kalori?
  2. Berapa probabilitas bahwa rata-rata 9 order memiliki setidaknya 760 kalori?

1) Satu Order (\(X \geq 760\))

Karena hanya satu data yang diamati, maka digunakan simpangan baku populasi (\(\sigma\)).

Hitung z-score:

\[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{760 - 740}{20} = 1 \]

Probabilitas:

\[ P(X \geq 760) = P(Z \geq 1) \]

Dari tabel normal baku: \(\Phi(1) \approx 0.8413\)

\[ P(X \geq 760) = 1 - 0.8413 = 0.1587 \]

Digunakan \(\sigma\) (simpangan baku populasi) karena yang dihitung adalah satu observasi. Penyebaran nilainya sama dengan distribusi asal.

2) Rata-rata 9 Order (\(\bar{X} \geq 760\))

Jika yang dihitung adalah rata-rata sampel, maka penyebarannya lebih kecil dibanding populasi. Variabilitas rata-rata disebut standar error:

\[ \sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{20}{\sqrt{9}} = \frac{20}{3} \approx 6.67 \]

Z-score:

\[ Z = \frac{760 - 740}{20/3} = \frac{20}{6.67} = 3 \]

Probabilitas:

\[ P(\bar{X} \geq 760) = P(Z \geq 3) \]

Dari tabel normal baku: \(\Phi(3) \approx 0.99865\)

\[ P(\bar{X} \geq 760) = 1 - 0.99865 = 0.00135 \]

Untuk rata-rata sampel digunakan standar error \((\sigma/\sqrt{n})\). Semakin besar ukuran sampel \(n\), distribusi rata-rata semakin sempit sehingga peluang rata-rata berada jauh dari \(\mu\) makin kecil.

3) 100 Pegawai (CLT)

Misalkan gaji pegawai di sebuah perusahaan besar memiliki rata-rata \( \mu = 62{,}000 \) dan simpangan baku \( \sigma = 32{,}000 \).

Jika 100 pegawai dipilih secara acak, berapakah probabilitas bahwa rata-rata gaji mereka melebihi Rp66.000?

Penyelesaian

Karena melibatkan rata-rata sampel, berlaku Teorema Limit Tengah (CLT). Distribusi rata-rata sampel:

\[ \mu_{\bar{X}} = \mu = 62{,}000, \quad \sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{32{,}000}{\sqrt{100}} = 3{,}200 \]

Hitung z-score:

\[ Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma_{\bar{X}}} = \frac{66{,}000 - 62{,}000}{3{,}200} = \frac{4{,}000}{3{,}200} = 1.25 \]

Probabilitas:

\[ P(\bar{X} > 66{,}000) = 1 - P(Z \leq 1.25) \]

Kapan Gunakan Rumusnya?

  • Satu data (X): gunakan rumus z-score dengan \(\sigma\). \[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \]
  • Rata-rata sampel (\(\bar{X}\)): gunakan rumus z-score dengan standar error. \[ Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \]

Ringkasan

Kondisi Rumus Z Hasil Z Probabilitas
Satu order ≥ 760 \( \frac{X-\mu}{\sigma} \) 1 0.1587
Rata-rata 9 order ≥ 760 \( \frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \) 3 0.00135
Rata-rata 100 pegawai ≥ 66.000 \( \frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \) 1.25 \(\approx 0.106\)

Intuisi

Perbedaan hasil muncul karena variabilitas rata-rata sampel lebih kecil daripada variabilitas satu observasi. Dengan \(n\) lebih besar, distribusi \(\bar{X}\) makin menyempit, sehingga peluang nilai ekstrem makin kecil.