BCara Menghitung Z-Value Menggunakan Distribusi Normal: Contoh Soal Bervariasi

Pengantar Z-Value dan Distribusi Normal

Z-value (atau skor-z) adalah ukuran yang menunjukkan seberapa jauh suatu nilai dari mean (rata-rata) dalam satuan simpangan baku (standard deviation) pada distribusi normal. Distribusi normal adalah distribusi probabilitas yang simetris dan berbentuk lonceng, dengan mean di tengah dan simpangan baku yang menentukan sebaran data.

Dalam artikel ini, kita akan membahas cara menghitung Z-value dan probabilitas terkait menggunakan distribusi normal. Kami akan memberikan contoh soal bervariasi, termasuk perhitungan satu arah (misalnya \( P(X < 1,2) \)) dan dua arah (misalnya \( P(-1,96 < Z < 1,96) \)), serta contoh tambahan untuk memperdalam pemahaman Anda.

Rumus Z-Value

Z-value dihitung menggunakan rumus berikut: \[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \] Di mana:
  • \(X\): Nilai yang ingin dihitung Z-value-nya.
  • \(\mu\): Mean (rata-rata) dari distribusi.
  • \(\sigma\): Simpangan baku (standard deviation) dari distribusi.

Setelah Z-value dihitung, kita dapat menggunakan tabel distribusi normal standar (Z-table) untuk mencari probabilitas terkait.

Contoh Soal Satu Arah: \( P(X < 1,2) \)

Misalkan kita memiliki distribusi normal dengan mean (\(\mu\)) = 0 dan simpangan baku (\(\sigma\)) = 1. Kita ingin mencari probabilitas \( P(X < 1,2) \).

Langkah-langkah:
  1. Hitung Z-value: \[ Z = \frac{1,2 - 0}{1} = 1,2 \]
  2. Gunakan tabel distribusi normal standar (Z-table) untuk mencari probabilitas \( P(Z < 1,2) \).
  3. Dari tabel Z, nilai \( P(Z < 1,2) \) adalah sekitar 0,8849.
Jadi, \( P(X < 1,2) = 0,8849 \).

Contoh Soal Dua Arah: \( P(-1,96 < Z < 1,96) \)

Misalkan kita ingin mencari probabilitas \( P(-1,96 < Z < 1,96) \) pada distribusi normal standar.

Langkah-langkah:
  1. Gunakan tabel distribusi normal standar (Z-table) untuk mencari probabilitas \( P(Z < 1,96) \). Nilainya adalah sekitar 0,9750.
  2. Gunakan tabel Z untuk mencari probabilitas \( P(Z < -1,96) \). Nilainya adalah sekitar 0,0250.
  3. Hitung probabilitas \( P(-1,96 < Z < 1,96) \): \[ P(-1,96 < Z < 1,96) = P(Z < 1,96) - P(Z < -1,96) = 0,9750 - 0,0250 = 0,9500 \]
Jadi, \( P(-1,96 < Z < 1,96) = 0,9500 \).

Contoh Soal Lain: \( P(Z > 2,5) \)

Misalkan kita ingin mencari probabilitas \( P(Z > 2,5) \) pada distribusi normal standar.

Langkah-langkah:
  1. Gunakan tabel distribusi normal standar (Z-table) untuk mencari probabilitas \( P(Z < 2,5) \). Nilainya adalah sekitar 0,9938.
  2. Hitung probabilitas \( P(Z > 2,5) \): \[ P(Z > 2,5) = 1 - P(Z < 2,5) = 1 - 0,9938 = 0,0062 \]
Jadi, \( P(Z > 2,5) = 0,0062 \).

Contoh Soal Distribusi Non-Standar

Misalkan kita memiliki distribusi normal dengan mean (\(\mu\)) = 50 dan simpangan baku (\(\sigma\)) = 10. Kita ingin mencari probabilitas \( P(X < 60) \).

Langkah-langkah:
  1. Hitung Z-value: \[ Z = \frac{60 - 50}{10} = 1 \]
  2. Gunakan tabel distribusi normal standar (Z-table) untuk mencari probabilitas \( P(Z < 1) \). Nilainya adalah sekitar 0,8413.
Jadi, \( P(X < 60) = 0,8413 \).

Contoh Tambahan 1: \( P(X > 70) \) pada Distribusi Non-Standar

Misalkan kita memiliki distribusi normal dengan mean (\(\mu\)) = 50 dan simpangan baku (\(\sigma\)) = 10. Kita ingin mencari probabilitas \( P(X > 70) \).

Langkah-langkah:
  1. Hitung Z-value: \[ Z = \frac{70 - 50}{10} = 2 \]
  2. Gunakan tabel distribusi normal standar (Z-table) untuk mencari probabilitas \( P(Z < 2) \). Nilainya adalah sekitar 0,9772.
  3. Hitung probabilitas \( P(X > 70) \): \[ P(X > 70) = 1 - P(Z < 2) = 1 - 0,9772 = 0,0228 \]
Jadi, \( P(X > 70) = 0,0228 \).

Contoh Tambahan 2: \( P(40 < X < 60) \) pada Distribusi Non-Standar

Misalkan kita memiliki distribusi normal dengan mean (\(\mu\)) = 50 dan simpangan baku (\(\sigma\)) = 10. Kita ingin mencari probabilitas \( P(40 < X < 60) \).

Langkah-langkah:
  1. Hitung Z-value untuk \( X = 40 \): \[ Z_1 = \frac{40 - 50}{10} = -1 \]
  2. Hitung Z-value untuk \( X = 60 \): \[ Z_2 = \frac{60 - 50}{10} = 1 \]
  3. Gunakan tabel distribusi normal standar (Z-table) untuk mencari probabilitas \( P(Z < 1) \). Nilainya adalah sekitar 0,8413.
  4. Gunakan tabel Z untuk mencari probabilitas \( P(Z < -1) \). Nilainya adalah sekitar 0,1587.
  5. Hitung probabilitas \( P(40 < X < 60) \): \[ P(40 < X < 60) = P(Z < 1) - P(Z < -1) = 0,8413 - 0,1587 = 0,6826 \]
Jadi, \( P(40 < X < 60) = 0,6826 \).

Kesimpulan

Menghitung Z-value dan probabilitas terkait menggunakan distribusi normal adalah keterampilan penting dalam statistika. Dengan memahami rumus Z-value dan cara menggunakan tabel distribusi normal standar, Anda dapat menyelesaikan berbagai masalah probabilitas, baik satu arah maupun dua arah.

Mulailah dengan mempelajari dasar-dasar distribusi normal dan Z-value, lalu lanjutkan dengan berlatih soal-soal bervariasi untuk meningkatkan pemahaman Anda. Nantikan pembahasan soal-soal menarik lainnya hanya di MathAlpha.