Persamaan Kuadrat: Pengertian, Bentuk Umum, Rumus, dan Pemfaktoran

eksponen

Pengantar Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah salah satu topik fundamental dalam matematika yang sering digunakan dalam berbagai bidang, mulai dari fisika, ekonomi, hingga teknik. Persamaan ini memiliki bentuk umum yang khas dan dapat diselesaikan menggunakan berbagai metode, seperti pemfaktoran, rumus kuadrat, atau melengkapi kuadrat. Memahami persamaan kuadrat dengan baik akan membantu Anda menyelesaikan berbagai masalah matematika dengan lebih efektif.

Pada artikel ini, kita akan membahas pengertian persamaan kuadrat, bentuk umum, rumus penjumlahan dan perkalian akar, diskriminan, serta cara melakukan pemfaktoran. Kami juga akan menyertakan contoh-contoh praktis untuk membantu Anda memahami konsep dengan lebih baik.

Pengertian Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah persamaan polinomial (suku banyak) yang memiliki derajat tertinggi dua. Persamaan ini biasanya ditulis dalam bentuk: \[ ax^2 + bx + c = 0 \] Di mana:
  • \(a\): Koefisien dari \(x^2\) (tidak boleh nol).
  • \(b\): Koefisien dari \(x\).
  • \(c\): Konstanta.
  • \(x\): Variabel yang nilainya dicari.
Contoh persamaan kuadrat:
  • \(2x^2 + 3x - 5 = 0\)
  • \(x^2 - 4x + 4 = 0\)
  • \(-x^2 + 6x - 9 = 0\)

Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

Bentuk umum persamaan kuadrat adalah: \[ ax^2 + bx + c = 0 \] Di mana:
  • \(a\): Koefisien kuadratik (harus ≠ 0).
  • \(b\): Koefisien linear.
  • \(c\): Konstanta.
Contoh: \[ 3x^2 - 5x + 2 = 0 \] Di sini, \(a = 3\), \(b = -5\), dan \(c = 2\).

Rumus Penjumlahan dan Perkalian Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Jika \(x_1\) dan \(x_2\) adalah akar-akar dari persamaan kuadrat \(ax^2 + bx + c = 0\), maka:

1. Penjumlahan Akar

\[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \]

2. Perkalian Akar

\[ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \]

Contoh: Diberikan persamaan kuadrat \(2x^2 - 8x + 6 = 0\). Tentukan penjumlahan dan perkalian akar-akarnya.

Penyelesaian:
  • \(a = 2\), \(b = -8\), \(c = 6\).
  • Penjumlahan akar: \(x_1 + x_2 = -\frac{-8}{2} = 4\).
  • Perkalian akar: \(x_1 \cdot x_2 = \frac{6}{2} = 3\).

Diskriminan Persamaan Kuadrat

Diskriminan (\(D\)) adalah nilai yang menentukan sifat akar-akar persamaan kuadrat. Diskriminan dihitung menggunakan rumus: \[ D = b^2 - 4ac \] Berdasarkan nilai diskriminan, kita dapat menentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat:
  • \(D > 0\): Persamaan memiliki dua akar real yang berbeda.
  • \(D = 0\): Persamaan memiliki satu akar real kembar.
  • \(D < 0\): Persamaan memiliki dua akar kompleks (tidak real).

Contoh: Diberikan persamaan kuadrat \(x^2 - 4x + 4 = 0\). Tentukan diskriminan dan jenis akar-akarnya.

Penyelesaian:
  • \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 4\).
  • Diskriminan: \(D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0\).
  • Karena \(D = 0\), persamaan memiliki satu akar real kembar.

Cara Melakukan Pemfaktoran Persamaan Kuadrat

Pemfaktoran adalah metode untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menuliskannya sebagai perkalian dua faktor linear. Berikut langkah-langkahnya:

1. Identifikasi Koefisien

Tentukan nilai \(a\), \(b\), dan \(c\) dari persamaan kuadrat \(ax^2 + bx + c = 0\).

2. Cari Faktor dari \(a \cdot c\)

Cari dua bilangan yang hasil perkaliannya sama dengan \(a \cdot c\) dan hasil penjumlahannya sama dengan \(b\).

3. Tulis Ulang Persamaan

Tulis ulang persamaan kuadrat dengan memecah suku tengah (\(bx\)) menggunakan dua bilangan yang ditemukan.

4. Faktorkan dengan Pengelompokan

Kelompokkan suku-suku dan faktorkan setiap kelompok.

Contoh: Faktorkan persamaan kuadrat \(x^2 + 5x + 6 = 0\).

Penyelesaian:
  1. \(a = 1\), \(b = 5\), \(c = 6\).
  2. Cari dua bilangan yang hasil perkaliannya \(1 \cdot 6 = 6\) dan hasil penjumlahannya \(5\). Bilangan tersebut adalah \(2\) dan \(3\).
  3. Tulis ulang persamaan: \(x^2 + 2x + 3x + 6 = 0\).
  4. Faktorkan dengan pengelompokan: \[ (x^2 + 2x) + (3x + 6) = \\ x(x + 2) + 3(x + 2) = \\ (x + 2)(x + 3) = 0 \]
  5. Akar-akarnya adalah \(x = -2\) dan \(x = -3\).

Rumus ABC untuk Mencari Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Selain pemfaktoran, akar-akar persamaan kuadrat dapat dicari menggunakan rumus ABC (juga dikenal sebagai rumus kuadrat). Rumus ini diberikan oleh: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Di mana:
  • \(a\): Koefisien dari \(x^2\).
  • \(b\): Koefisien dari \(x\).
  • \(c\): Konstanta.
  • \(\sqrt{b^2 - 4ac}\): Diskriminan (\(D\)).

Contoh: Diberikan persamaan kuadrat \(2x^2 - 4x - 6 = 0\). Tentukan akar-akarnya menggunakan rumus ABC.

Penyelesaian:
  1. Identifikasi nilai \(a\), \(b\), dan \(c\): \[ a = 2, \quad b = -4, \quad c = -6 \]
  2. Hitung diskriminan (\(D\)): \[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 16 + 48 = 64 \]
  3. Gunakan rumus ABC: \[ x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 2} = \frac{4 \pm 8}{4} \]
  4. Hitung kedua akar: \[ x_1 = \frac{4 + 8}{4} = 3, \quad x_2 = \frac{4 - 8}{4} = -1 \]
Jadi, akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah \(x = 3\) dan \(x = -1\).

Kesimpulan

Persamaan kuadrat adalah topik penting dalam matematika yang memiliki banyak aplikasi dalam kehidupan sehari-hari. Dengan memahami bentuk umum, rumus penjumlahan dan perkalian akar, diskriminan, serta metode pemfaktoran, Anda dapat menyelesaikan berbagai masalah yang melibatkan persamaan kuadrat dengan lebih efektif.

Mulailah dengan mempelajari dasar-dasar persamaan kuadrat, lalu lanjutkan dengan berlatih soal-soal untuk meningkatkan pemahaman Anda. Nantikan pembahasan soal-soal menarik lainnya hanya di MathAlpha.