Sifat-Sifat Logaritma, Pengertian, Fungsi, dan Contohnya
Haloo teman-teman semua, para Pecinta Matematika, Pada artikel kali ini kita akan membahas sifat-sifat dari logaritma dan bagaimana pembuktiannya itu !!!. Ketika kita membahas logaritma kita tidak akan jauh-jauh dari topik eksponen dan bentuk akar. Eksponen, bentuk akar , dan logaritama kita dapat istilahkan dengan "tiga serangkai" karena ketiganya saling terkait satu sama lain.
Hubungan Antara Bilangan Berpangkat, Bentuk Akar, dan Logaritma
Mempelajari aturan-aturan logaritma menjadi lebih mudah jika kita mengikuti langkah-langkah yang telah dibahas sebelumnya. Dengan demikian, kita dapat memahami soal-soal logaritma dengan lebih baik dan meningkatkan kemampuan berpikir kita dalam menyelesaikan masalah sehari-hari.
Hubungan antara bilangan berpangkat, akar, dan logaritma dapat dijelaskan secara sederhana seperti berikut:
Dari bentuk bilangan berpangkat \( a^b = c \), untuk menemukan bilangan \( a \) menggunakan \( b \) dan \( c \), kita menggunakan operasi akar, yang ditulis sebagai \( \sqrt[b]{c} = a \). Sedangkan untuk mencari bilangan \( b \) menggunakan \( a \) dan \( c \), kita menggunakan operasi logaritma, yang ditulis sebagai \( \log_a c = b \).
Beberapa contoh atau kesimpulan sederhana adalah sebagai berikut:
- \( 2^3 = 8 \iff \log_2 8 = 3 \)
- \( \sqrt[3]{8} = 2 \iff 2^3 = 8 \)
- \( \sqrt[3]{8} = 2 \iff \log_2 8 = 3 \)
Penulisan logaritma dalam bentuk \( a \log b = c \) banyak kita temui pada buku-buku yang berbahasa Indonesia. Sementara itu, buku-buku internasional yang umumnya menggunakan bahasa Inggris akan menuliskannya sebagai \( \log_a b = c \).
Istilah-istilah pada Logaritma
Dalam penulisan logaritma \( \log_a b = c \), terdapat beberapa istilah yang perlu dipahami:
- a disebut Basis (Bilangan Pokok), dengan ketentuan \( a > 0 \) dan \( a \neq 1 \). Basis ini dapat berada pada rentang \( 0 < a < 1 \) atau \( a > 1 \). Untuk logaritma dengan basis 10, sering kali simbol basisnya tidak dituliskan.
- b disebut Numerus atau bilangan yang dicari logaritmanya. Nilai \( b \) harus lebih besar dari nol, yaitu \( b > 0 \).
Sifat-sifat Logaritma
- \(\log_a a = 1\)
- \(\log_a 1 = 0\)
- \(\log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y)\)
- \(\log_a x - \log_a y = \log_a \left(\frac{x}{y}\right)\)
- \(\log_a x^n = n \cdot \log_a x\)
- \( \log_{a^n} x^m = \frac{m}{n} \log_a x \)
- \(\log_a x = \frac{\log_p x}{\log_p a}\)
- \(\log_a x = \frac{1}{\log_x a}\)
- \(\log_a x \cdot \log_b x = \log_b a\)
Pembuktian Sifat-sifat Logaritma
1. \(\log_a a = 1\)
Pembuktian 1:
Dengan menggunakan definisi logaritma yang menyatakan bahwa \(\log_a a = 1\) karena \(a^1 = a\). Jadi, terbukti bahwa \(\log_a a = 1\).Pembuktian 2:
Misalkan \( \log_a a = y \) maka dengan menggunakan definisi logaritma didapatkan:\( a^y = a => a^y = a^1\)
agar persamaan \(a^y = a^1\) itu benar maka haruslah \(y = 1\) dan sebelumnya kita memisalkan \(y = \log_a a\) sehingga di peroleh:
\( \log_a a= 1\)
2. \(\log_a 1 = 0\)
Pembuktian 1:
Berdasarkan definisi logaritma, \(\log_a 1 = 0\) karena \(a^0 = 1\). Ini membuktikan bahwa \(\log_a 1 = 0\).
Pembuktian 2:
Misalkan \( \log_a 1 = y \) maka dengan menggunakan definisi logaritma didapatkan:\( a^y = 1 => a^y = a^0\)
agar persamaan \(a^y = a^0\) itu benar maka haruslah \(y = 0\) dan sebelumnya kita memisalkan \(y = \log_a 1\) sehingga di peroleh:
\( \log_a 1= 0\)
3. \(\log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y)\)
Pembuktian:
Misalkan \(\log_a x = m\) dan \(\log_a y = n\) sehingga diperoleh:\(\log_a x = m => a^m = x\)
\(\log_a y = n => a^n = y\)
Dengan menggunakan sifat berpangkat diperoleh:
\( x . y = a^m . a^n \)
\( x . y = a^{m+n} \)
Lalu dengan menggunakan definisi logaritma:
\( \log_a (x. y) = m + n \)
Karena sebelumnya kita telah memisalkan \( \log_a x = m\) dan \(\log_a y = n\) sehingga persamaannya menjadi
\( \log_a (x. y) = m + n \)
\( \log_a (x. y) = \log_a x + \log_a y \)
4. \(\log_a x - \log_a y = \log_a \left(\frac{x}{y}\right)\)
Pembuktian:
Misalkan \(\log_a x = m\) dan \(\log_a y = n\) sehingga diperoleh:\(\log_a x = m => a^m = x\)
\(\log_a y = n => a^n = y\)
Dengan menggunakan sifat berpangkat diperoleh:
\( \frac{x}{y} = a^m / a^n \)
\( \frac{x}{y} = a^{m-n} \)
Lalu dengan menggunakan definisi logaritma:
\( \log_a (\frac{x}{y}) = m - n \)
Karena sebelumnya kita telah memisalkan \( \log_a x = m\) dan \(\log_a y = n\) sehingga persamaannya menjadi
\( \log_a (\frac{x}{y}) = m - n \)
\( \log_a (\frac{x}{y}) = \log_a x - \log_a y \)
5. \(\log_a x^n = n \cdot \log_a x\)
Pembuktian:
Untuk membuktikan sifat ke-5 ini kita menggunakan konsep bilangan berpangkat untuk \(x^n \) yang nantinya kita akan peroleh \(x \) sebanyak \(n \)\(\log_a x^n = \log_a(x.x.x...x) \)
Dengan menggunakan sifat ke-3 diperoleh:
\(\log_a x^n = \log_a(x.x.x...x) \)
\(\log x^n = \log_a x + \log_a x + \log_a x + .... + \log_a x \)
Karena \( \log_a x\) sebanyak \(n \) maka diperoleh:
\(\log x^n = \log_a x + \log_a x + \log_a x + .... + \log_a x \) \( \log_a x^n = n \times \log_a x\)
6. \( \log_{a^n} x^m = \frac{m}{n} \log_a x \)
Pembuktian:
Misalkan \( \log_{a^n} x^m = y \) sehingga dengan definisi logaritma diperoleh:\( (a^n)^y = x^m \)
\( a^yn = x^m => a^{\frac{yn}{m}} = x \)
Kita kembalikan ke bentuk logaritma
\( \frac{y . n}{m} = \log_a x \)
\( y . \frac{n}{m} = \log_a x \)
\( y = \frac{m}{n} \log_a x \)
Karena sebelumnya kita memisalkan \(y =\log_{a^n} x^m \) maka diperoleh
\( \log_{a^n} x^m = \frac{m}{n} \log_a x \)
7. \(\log_a x = \frac{\log_p x}{\log_p a}\)
Pembuktian:
Misalkan \( \log_a x = y \) maka:\( a^y = x \)
Kemudian kita berikan \(\log_p \) di kedua ruas sehingga diperoleh:
\( \log_p a^y = \log_p x \)
Dengan menggunakan sifat-5 diperoleh:
\( \log_p a^y = \log_p x \)
\( y . \log_p a = \log_p x \)
\( y = \frac{\log_p x}{\log_p a} \)
\(\log_a x = \frac{\log_p x}{\log_p a}\)
8. \(\log_a x = \frac{1}{\log_x a}\)
Pembuktian:
Untuk membuktikan sifat ini kita akan menggunakan sifat sebelumnya yaitu sifat-7. Sifat-7 untuk bilangan pokok \( p \) pemilihannya bebas, sehingga untuk membuktikan sifat 8 ini kita mengganti \(p\) menjadi \(x\) diperoleh:\(\log_a x = \frac{\log_p x}{\log_p a}\)
\(\log_a x = \frac{\log_x x}{\log_x a}\)
\(\log_a x = \frac{1}{\log_x a}\)
9. \(\log_a x \cdot \log_b x = \log_b a\)
Pembuktian:
Untuk membuktikan sifat ini kita akan menggunakan sifat sebelumnya yaitu sifat-7. Sifat-7 untuk bilangan pokok \( p \) pemilihannya bebas, sehingga untuk membuktikan sifat 9 ini kita mengganti \(p\) menjadi \(10 \) diperoleh:\(\log_a x = \frac{\log x}{\log a}\)
Berdasarkan sifat di atas kita peroleh:
\( \log_a x \cdot \log_b x = \frac{\log x}{\log a} . \frac{\log b}{\log x} \)
\( \log_a x \cdot \log_b x = \frac{\log b}{\log a} \)
Kita kembalikan menjadi:
\(\log_a x \cdot \log_b x = \log_b a\)
Contoh Penggunaan Sifat-sifat Logaritma
- \(\log_2 2 = 1\)
- \(\log_2 1 = 0\)
- \(\log_2 8 + \log_2 4 = \log_2 (8 \cdot 4) = \log_2 32\)
- \(\log_2 8 - \log_2 4 = \log_2 \left(\frac{8}{4}\right) = \log_2 2\)
- \(\log_2 8^2 = 2 \cdot \log_2 8 = 6\)
- \(\log_2 8 = \frac{\log_{10} 8}{\log_{10} 2}\)
- \(\log_2 8 = \frac{1}{\log_8 2}\)
- \(\log_2 8 \cdot \log_3 8 = \log_3 2\)